Enunciado

Teste a convergência ou divergência das séries.

∑ n = 1 ∞ n - 1 n 2 + n

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Nesse exercício vamos analisar a convergência da série ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 2 + n .

Para isso. Vamos usar uma técnica chamada teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente. Mas antes, precisamos simplificar um pouco a expressão n - 1 n 2 + n .

Podemos reescrever o denominador como n ( n + 1 ) :

n - 1 n ( n + 1 )

Passo 2

Vamos agora separar a fração em partes mais simples usando frações parciais, que são uma maneira de decompor uma fração complicada em uma soma de frações mais simples.

Decompondo a fração, teremos:

n - 1 n ( n + 1 ) = A n + B n + 1

Multiplicando ambos os lados por n ( n + 1 ) para encontrar A e B :

n - 1 =   A ( n + 1 ) +   B n

Agora, precisamos expandir e organizar o lado direito da equação para compará-lo com o lado esquerdo:

A ( n + 1 ) +   B n =   A n + A + B n

Juntando os termos semelhantes:

n - 1 =   ( A + B ) n + A

Agora, vamos comparar os coeficientes de n e os termos constantes em ambos os lados da equação.

No lado esquerdo, o coeficiente de n é 1 (porque n está sozinho) e o termo constante é - 1 .

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

  1. O coeficiente de n : A + B = 1
  2. O termo constante: A = - 1

Substituímos A = - 1 na primeira equação:

- 1 + B = 1

B = 2

Portanto, encontramos A = - 1 e B = 2 . Agora podemos reescrever a fração original usando esses valores:

n - 1 n ( n + 1 ) = -   1 n + 2 n + 1

Passo 3

Agora que temos a expressão simplificada, vamos usar o teste da integral para verificar a convergência da série. Integraremos a expressão -   1 n + 2 n + 1 de 1 até o infinito:

∫ 1 ∞   -   1 n   d n   +   ∫ 1 ∞   2 n + 1   d n

Para a primeira integral:

∫ 1 ∞   -   1 n   d n = -   l n n 1 ∞

Avaliando os limites:

-   l n ( ∞ ) + l n ( 1 )   =   -   ∞

Para a segunda integral:

∫ 1 ∞   2 n + 1   d n = 2   l n n + 1 1 ∞

Avaliando os limites:

2   l n ( ∞ )   -   2 l n ( 2 )   = ∞

Como a soma de uma integral que diverge resulta em uma divergência, concluímos que a integral diverge.

Como a integral diverge, isso significa que a série ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 2 + n também diverge.

Resposta

A série é ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 2 + n é divergente.

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