Enunciado

Teste a série para convergência ou divergência.

6-

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1

Passo 1

E aí, pessoal? Como vai?

Nossa questão quer saber se essa série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 3 n - 1

A primeira coisa que nos “salta aos olhos” olhando para essa série é o termo - 1 n - 1 . Pensa bem: quando n é par esse termo fica negativo e quando é ímpar fica positivo. Ou seja, o sinal vai alternando de termo em termo. Então, podemos dizer que temos uma série alternada. Para analisar séries alternadas podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que:

Se a série alternada: ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 b n

Onde b n > 0 , atender às nossas duas condições:

  1. b n + 1 ≤ b n para todo n  
  2. lim n �� ∞ ⁡ b n = 0

Então a série é convergente.

Passo 2

Testando o critério (i) do nosso Teste, que basicamente diz que b n tem que ser decrescente.

b n = 1 3 n - 1

Fazendo a derivada dessa função no domínio de x nós teremos:

d d x 1 3 x - 1

Pela regra da cadeia temos que:

d d x 3 x - 1 - 1 = - 3 x - 1 × 3

Para uma função ser decrescente:

f ' x < 0

O que nos dará negativa em todo o intervalo indo de 1 até infinito (é assim que se prova matematicamente que a função é decrescente, para funções mais brabas isso vai ser importantíssimo).

Passo 3

Teste o critério (ii): Agora vamos fazer o teste da convergência em b n fazendo o limite de n tendendo a infinito.

lim n → ∞ ⁡ 1 3 n - 1 = 0

Bem, não tem muito que explicar nela, simplesmente vamos ter 1 ∞   e isso tende a zero. Simples assim.

Vimos então que os dois testes dão positivo, fazendo com que a série alternada convirja.

Resposta

Série convergente.

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