Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

Um capacitor é constituído de cilindro com raio a e carga q > 0 coaxial com uma casca cilíndrica fina de raio b e carga - q . O cilindro e a casca cilíndrica têm ambos altura L , conforme a figura 1 .

(a) Calcule o vetor campo elétrico dentro do capacitor, na região a < r < b . Despreze efeitos de borda.

(b) Calcule a capacitância do capacitor.

(c) Calcule a energia contida no interior de um cilindro de raio r ' ( a < r ' < b ) e altura L , coaxial com o capacitor, conforme a figura 2 .

Passo 1

Aqui queremos calcular o campo elétrico entre as duas cascas cilíndricas na figura 1 .

Como o enunciado diz para desprezarmos os efeitos de borda, isso equivale a dizer que o comprimento L do cilindro é muito maior que os raios a e b .

Sabemos que o campo elétrico tem que apontar da placa com carga positiva para a placa com carga negativa. Como as duas placas são cilíndricas, o campo elétrico irá apontar na direção radial, ou seja, E → = E r r ^ .

Passo 2

Agora podemos usar a lei de Gauss. A superfície gaussiana que iremos usar será um cilindro de raio r ( a < r < b ) e altura h .

O fluxo do campo elétrico através das tampas da nossa superfície será 0 , já que os vetores unitários de área nas tampas estão na direção z ^ e o campo está na direção r ^ (ou seja, o campo é paralelo a essas superfícies).

Já o fluxo na parte lateral do nosso cilindro será tranquilo de calcular, pois o unitário de área agora é paralelo ao campo elétrico (na direção r ^ ).

Assim

∮ S   E → . d A → = ∮ á r e a l a t e r a l   E ( r ) . d A = E r 2 π r h

Onde 2 π r h é a área lateral do nosso cilindro.

Pela lei de Gauss temos que a integral acima é a carga total dentro da nossa superfície gaussiana. Como para o cilindro de altura L temos uma carga q , para o cilindro de altura h teremos um total de carga de

q d e n t r o = q h L

Agora podemos aplicar a lei de Gauss

∮ S   E → . d A → = q d e n t r o ϵ 0

E r 2 π r h = q ϵ 0 h L

E → r = q ϵ 0 1 2 π r L r ^  

Passo 3

Para calcular a capacitância precisamos lembrar que a capacitância é dada por

C = q V

onde V é a diferença de voltagem entre as placas.

Como já obtivemos o campo entre as placas, para achar a diferença de potencial, basta usar

E r = - ∂ V ∂ r

V r = b - V r = a = - ∫ a b d r → . E → r = - ∫ a b d r . E r

A diferença de potencial é uma integral de caminho. Como queremos a diferença de potencial entre as duas placas, a integral de caminho partirá da placa interna e chegará à placa externa.

O melhor caminho será na direção radial ligando as duas placas. Dessa forma o nosso caminho será paralelo ao campo elétrico e terá mesma direção (apontando de dentro para fora) e o produto escalar dentro da integral será o produto das quantidades d r e E r .

Essa integralzinha será

- ∫ a b d r E r = - q ϵ 0 1 2 π L ∫ a b d r 1 r = - q ϵ 0 1 2 π L ln ⁡ b a

Tudo bem aqui ter dado negativo já que a diferença que acabamos de calcular foi V r = b - V r = a , ou seja, a diferença entre a placa negativa e a positiva. Para o cálculo da capacitância usaremos o módulo dessa quantidade

V = V r = b - V r = a = q ϵ 0 1 2 π L ln ⁡ b a

Assim

C = q V = q q ϵ 0 1 2 π L ln ⁡ b a

C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a

Repare que a capacitância só depende de seus aspectos geométricos como tem que ser! :)

Passo 4

Temos que a densidade volumétrica de energia do campo elétrico é

u E = ϵ 0 E 2 2

Para calcular a energia total do campo, temos que integrar essa quantidade no volume do cilindro de raio r ' ( a < r ' < b ) e altura L .

Como no interior do cilindro de raio a não há campo elétrico, temos que integrar na coordenada radial de a , até r ' .

O elemento de volume será d V = r d r d θ d z (coordenadas cilíndricas)

U = ∫ u E d V = ∫ ϵ 0 E 2 2 d V

U = ϵ 0 2 q ϵ 0 1 2 π L 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 L d z ∫ a r ' 1 r 2 r d r

U = ϵ 0 2 q 2 ϵ 0 2 1 4 π 2 L 2 2 π L ln ⁡ r ' - ln ⁡ a

U = q 2 4 π ϵ 0 ln ⁡ r ' a

Resposta

  1. E → r = q ϵ 0 1 2 π r L r ^  
  2. C = 2 π ϵ 0 L ln ⁡ b a
  3. U = q 2 4 π ϵ 0 ln ⁡ r ' a

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