Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

Um capacitor de placas planas e paralelas possui inicialmente vácuo entre suas placas, como mostrado na figura abaixo (painel à esquerda). Ele é carregado por uma bateria que fornece uma diferença de potencial constante entre as placas.

A seguir, mantendo a bateria conectada, insere-se no capacitor um material dielétrico de constante dielétrica κ e espessura igual à metade da distância entre as placas, como mostrado no painel direito da figura abaixo.

A razão U / U 0 entre as energias armazenadas pelo capacitor depois e antes da inserção do dielétrico vale:

a κ + 1 / 2 κ .

b 2 κ / ( κ + 1 ) .

c 2 1 + κ .

d 1 / 2 1 + κ .

e κ .

f 1 / κ .

Passo 1

A energia potencial armazenada no capacitor é dada por:

U = C V 2 2

Onde, para um capacitor de placas paralelas no vácuo, a capacitância é dada por:

C = ϵ 0 A d

Em ambos os casos, o capacitor é alimentado por uma fonte que fornece uma diferença de potencial constante V entre as placas. Então, tanto antes, quanto depois de inserir o dielétrico, a diferença de potencial entre as placas é V .

Passo 2

Antes de colocar o dielétrico, a energia armazenada no capacitor é dada por:

U 0 = C 0 V 2 2 = ϵ 0 A V 2 2 d

Passo 3

Após inserir o dielétrico, é como se tivéssemos dois capacitores em série, cada um de largura d / 2 . Logo:

C 1 = ϵ 0 A d / 2 = 2 ϵ 0 A d

C 2 = κ ϵ 0 A d / 2 = 2 κ ϵ 0 A d

Quando dois capacitores estão em série, a capacitância equivalente é dada por:

1 C = 1 C 1 + 1 C 2

C = C 1 C 2 C 1 + C 2

Substituindo as expressões de C 1 e C 2 , teremos:

C = 2 ϵ 0 A d × 2 κ ϵ 0 A d 2 ϵ 0 A d + 2 κ ϵ 0 A d

C = 2 ϵ 0 A d × 2 κ ϵ 0 A d 2 ϵ 0 A d 1 + κ

C = 2 κ ϵ 0 A d 1 + κ

Assim, a energia após a inserção do dielétrico será:

U = C V 2 2 = 2 κ ϵ 0 A V 2 2 d 1 + κ

U = κ ϵ 0 A V 2 d 1 + κ

Passo 4

Finalmente:

U U 0 = κ ϵ 0 A V 2 d 1 + κ ϵ 0 A V 2 2 d

U U 0 = κ ϵ 0 A V 2 d 1 + κ × 2 d ϵ 0 A V 2

Simplificando, teremos:

U U 0 = 2 κ κ + 1

A resposta certa é a letra b .

Resposta

b 2 κ / ( κ + 1 ) .

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