Exercícios Resolvidos de Campo e Energia em um Capacitor.

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Enunciado

Considere um capacitor de placas planas, paralelas, com área A , separadas por uma distância d no vácuo.

( a ) Calcule a capacitância C 0 deste capacitor no vácuo em função de ε 0 , A

e d .

( b ) Calcule a nova capacitância C do capacitor se preenchermos parcialmente o espaço entre as placas com um material de constante dielétrica κ e espessura x , conforme a figura. Forneça sua resposta em função de ε 0 ,   A ,   d ,   κ e x .

( c ) Calcule a densidade de energia num ponto P da região sem dielétrico após ligarmos as placas do capacitor a uma bateria com uma diferença de potencial igual a V . Forneça sua resposta em função de ε 0 ,   V   ,   d ,   κ   e   x .

Passo 1

( a ) Talvez, você já saiba decorado essa resposta, que a capacitância de um capacitor é dada por:

C 0 = ε 0 A d

Pois vimos isso na teoria, vimos ainda que a capacitância depende exclusivamente da geometria e componentes do capacitor.

Bem, mas como chegamos nessa fórmula, dado apenas a seguinte fórmula, dada no formulário:

C = Q V

Quando estudamos potencial, vimos que

V = E . d

Vishh, agora precisamos saber a fórmula do campo elétrico gerado por placas paralelas.

Bem, usando a lei de Gauss, como auxilio, e como uma placa paralela vai gerar um campo constante e sempre na direção perpendicular a sua superfície.

Vamos escolher como superfície gaussiana, um cubo fechado de lados iguais ao da placa do capacitor, assim a carga interna será a carga total da placa Q e só haverá fluxo de campo elétrico nas tampas do cubo, analisando apenas a tampa que está entre as placas do capacitor, teremos que

∫ E → . d A = Q i n t ε 0

E → ∫ d A = Q ε 0

Como a área da tampa é A

E → . A = Q ε 0

Assim, encontramos o valor do campo elétrico entre as placas do capacitor

E → = Q A ε 0

Substituindo na equação do potencial temos que

V = E . d = Q d A ε 0

Então, substituindo na equação da capacitância, temos

C = Q Q d A ε 0

C = A ε 0 d

Boa!, chegamos no resultado que esperávamos.

Passo 2

b   Quando adicionamos um dielétrico entre as placas do capacitor vamos mudar o campo e o potencial entre as placas, certo?

V ' = V 0 k

Bem nesse caso, vamos ter duas regiões,

A região com o dielétrico e a região sem o dielétrico

V ' = V 1 k + V 2  

Como o potencial depende da distância, teremos um potenciais diferente para as regiões ( V 1 e   V 2 )    

Adotamos como nosso referencial o potencial na placa em que foi colocado o dielétrico, assim o potencial na região do dielétrico é

V 0 = E 0 . d

V   1 = E 0 . x - E 0 . 0 = E 0 . x

obs: estamos calculando o potencial na região do dielétrico, porém antes de ser posto o dielétrico, por isso podemos dizer que o campo é E 0 .

V 2 = E 0 . d - E 0 . x = E 0 . d - x

Assim, temos que

V ' = E 0 x k + E 0 d - x

V ' = E 0 x k + d - x

V ' = E 0 k x - k x + d k

Como descobrimos o valor do novo potencial, podemos escrever a equação da capacitância

C = Q V ' = Q E 0 k x - k x + d k = Q k E 0 x - k x + d k

Boa, no item a já vimos que

C 0 = Q E 0 d = A ε 0 d

Disso, tiramos que

Q E 0 = A . ε 0

Voltando a equação da capacitância temos que

C = Q k E 0 x - k x + d k = A . ε 0 . K x - k x + d k

Passo 3

c   A equação da densidade de energia em um dado ponto é

μ = ε 0 E 0 2 2

O campo elétrico, você teve que calcular lá no item a ,

E → = Q A ε 0

Então, podemos reescrever a equação da densidade de energia, da seguinte forma:

μ = ε 0 Q 2 2 A 2 ε 0 2 = Q 2 2 A 2 ε 0

Ainda falta relacionarmos o a carga com a capacitância, mas isso é moleza para gente, só lembrarmos da primeira fórmula que usamos

C = Q V

O potencial foi dado, e C terminamos de descobrir no item b

Então,

Q = C . V = A . ε 0 . K x - k x + d k . V

Por isso, a densidade de energia é

μ = Q 2 2 A 2 ε 0 = A . ε 0 . K x - k x + d k . V 2 2 A 2 ε 0

μ = ε 0 . k 2 . V 2 2 . x - k x + d k 2

Chegamos, na densidade de energia em função ε 0 ,   V   ,   d ,   κ   e   x .

Resposta

a C 0 = A ε 0 d

b   C = A . ε 0 . K x - k x + d k  

c   μ = ε 0 . k 2 . V 2 2 . x - k x + d k 2

μ = ε 0 . k 2 . V 2 2 . x - k x + d k 2

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