Exercícios Resolvidos de Circuitos RL

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Enunciado

Se o pulso de entrada do gráfico abaixo for aplicado ao circuito, determine a resposta i ( t ) .

Passo 1

Precisamos encontrar a corrente no indutor i t quando a fonte de tensão v s tiver aquela forma apresentada no gráfico. A gente pode descrever esse pulso de entrada como uma fonte de 10   V que foi ligada em t = 0 e uma fonte de - 10   V que foi ligada mais tarde, em t = 1 .

v s = 10 u t - u t - 1

Passo 2

Agora, vamos analisar no intervalo de 0 < t < 1 . Nesse intervalo a fonte de tensão vale 1 0   V . Vamos analisar o circuito abaixo para encontrarmos a corrente nesse intervalo.

Primeiro, vamos aplicar a LCK ao nó:

i 2 = i 3 + i

Sabemos que a tensão no indutor tem a seguinte relação:

v L = L d i d t = 2 d i d t

E como o indutor está em paralelo com o resistor de 20   Ω , eles possuem a mesma tensão.

v L = 20 i 3

v L = 20 ( i 2 - i )

Agora, vamos escrever a corrente i 2 em função da tensão nodal v L .

i 2 = 10 - v L 5

Substituindo,

v L = 20 10 - v L 5 - i

v L = 200 5 - 20 5 v L - 20 i

v L = 40 - 4 v L - 20 i

5 v L + 20 i = 40

Como,

v L = 2 d i d t

Substituindo,

5 × 2 d i d t + 20 i = 40

10 d i d t + 20 i = 40

Passo 3

Chegamos a uma EDO não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.

i t = i h ( t ) + i p ( t )

Primeiro, vamos resolver a homogênea:

10 d i h d t + 20 i h = 0

Nós já resolvemos essa EDO quando estudamos o caso sem fontes e vimos que resposta é:

i h t = A e - 2 t

Agora, precisamos encontrar a solução particular.

10 d i p d t + 20 i p = 40

Como 3 é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

i p t = B ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

10 d ( B ) d t + 20 ( B ) = 40

Como a derivada de uma constante é zero:

B = 2

Portanto, a solução geral é:

i t = A e - 2 t + 2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor da constante A . Até o instante t = 0 , não há circulação de corrente no circuito. Logo, i 0 = 0 . Lembrando que a corrente no indutor não pode variar instantaneamente, então:

i 0 - = i 0 = i 0 + = 0

Então, utilizando a nossa condição inicial

0 = A e - 2 × ( 0 ) + 2

A = - 2

Substituindo:

i t = - 2 e -   2 t + 2     A

Logo, a corrente no indutor para 0 < t < 1 será:

i t = 2 ( 1 - e -   2 t )     A

Passo 5

Agora temos que calcular i t para t > 1 .

Como a tensão da fonte passa a ser zero para t > 1 , a fonte de tensão pode ser substituída por um curto-circuito, tornando o circuito igual ao caso sem fonte.

Fazendo a associação em paralelo dos resistores, temos:

R e q = 20 × 5 20 + 5

R e q = 100 25 = 4   Ω

Chegando nesse circuito RL sem fonte simples.

Aqui a gente tem que ter um cuidado especial, pois a nossa condição inicial é em t = 1 . Então, temos que considerar esse deslocamento no tempo.

i t = i 1 e - 2 ( t - 1 )

Passo 6

Como a corrente no indutor não pode variar instantaneamente, ou seja:

i 1 - = i 1 = i 1 +

Para instante t = 1 - , temos a expressão da corrente, que foi aquele calculado em 0 < t < 1 . Logo:

i 1 - = 2 ( 1 - e -   2 ( 1 ) )

i 1 - = 2 × ( 1 - 0,1353 )

i 1 - = 1.7294   A

Logo, a corrente no indutor para t > 1 será:

i t = 1.729 4 e - 2 t - 1   A

Resposta

i t = 2 ( 1 - e -   2 t ) ,               0 < t < 1 1.729 4 e - 2 t - 1 ,                     t > 1

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