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Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 Variáveis

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Exercício 191234567891011121314151617182021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596

Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P2 2016.1, questão 10

Seja f x , y = a x 2 + 2 x y + y 2 , onde a ∈ R . Então 0,0 é ponto de máximo local de f se?

a f não possui máximos locais;

b a = 2 ;

c a = - 1 ;

d a = 1 ;

e a = 0 .

Passo 1

Vamos começar calculando o gradiente:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

⇒ ∇ f x , y = 2 a x + 2 y ,   2 x + 2 y

f x = 2 a x + 2 y

f y = 2 x + 2 y

Passo 2

Agira vamos calcular as derivadas de segunda ordem:

f x x = 2 a

f x y = 2

f y y = 2

f y x = 2

Passo 3

Montar a matriz Hessiana

H = f x x f x y f y x f y y

⇒ H = 2 a 2 2 2

⇒ H = 4 a - 4

Passo 4

Para haver ponto de máximo local precisamos de H > 0 e f x x < 0 . Então, usando a primeira inequação:

H > 0

4 a - 4 > 0

a > 1

Usando a segunda:

2 a < 0

a < 0

Como encontramos duas condições que se contradizem para a , dizemos que a função f não possui máximos locais, logo 0,0 não é máximo local.

Resposta

Letra a

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