Exercícios Resolvidos de Colisões com Rotação

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Enunciado

A figura mostra uma montagem de laboratório utilizada para experiências de momento angular. Ela é composta por 3 corpos: i) uma haste fina de massa M = 0,3   kg e comprimento L = 0,4   m articulada por um eixo sem atrito (localizado no ponto P) distante 0,1   m de uma de suas extremidades; ii) uma pequena esfera sólida de massa m 1 = 0,1   kg , presa à extremidade mais próxima ao eixo da haste e iii) um aro de raio r = 0,01   m e massa m 2 = 0,1   kg preso à outra extremidade. A montagem está girando no plano horizontal com velocidade angular ω 0 = 10   rad/s (no sentido horário), quando sofre uma colisão ao se encontrar na posição à 20 ° acima do eixo x com uma esfera sólida de massa m 3 = 0,2   kg que se move com velocidade v 3 → = 20   m/s   ( j ^ ) . A esfera fica presa no aro.

Considere as esferas como pontuais. Utilize: s e n 20 ° = 0,34 ; cos ⁡ 20 ° = 0,94 .

a ) Calcule o momento de inérica de cada componente da montagem em torno do ponto P, formado pela haste fina, esfera de massa m 1 e aro.

b ) Calcule o vetor momento angular total do sistema imediatamente antes da colisão ( L → antes ) . Responda se haverá ou não conservação do momento angular do conjunto durante a colisão, justificando cuidadosamente.

c ) Calcule o módulo da velocidade angular imediatamente após a colisão ω f e informe também o sentido da rotação do conjunto.

Passo 1

a )

Para o item a , devemos calcular o momento de inércia de cada componente, lembrando que I = ∫ r 2 d m , além de recordar o teorema dos eixos paralelos I = I C M + M h 2 .

Para a esfera de massa m 1 = 0,1   kg   , que está à 0,1   m do ponto P , temos:

I 1 = m 1 ⋅   L

I 1 = 0,1 ⋅   0,1 2

I 1 = 1 × 10 - 3   kg⋅.  m 2

Para o Aro de massa m 2 = 0,1   kg e raio r = 0,01   m , que está a 0,3   m do ponto P , temos:

I 2 = m 2 ⋅ r 2 + m 2 ⋅ L + r 2

I 2 = 0,1 ⋅ 0,01 2 + 0,1 ⋅ 0,3 + 0,01 2

I 2 = 9,62 × 10 - 3   kg⋅ m 2

Para a haste de massa M = 0,3   kg e comprimento L = 0,4   m , temos:

I haste = M ⋅ L 2 12 + M ⋅ L 4 ⏟ 2

É a distância entre o C M da barra e o ponto P .

I haste = 0,3 ⋅ 0,4 2 12 + 0,3 ⋅ 0,4 4 2

I haste = 7 × 10 - 3   kg ⋅ m 2

Passo 2

b )

Agora podemos calcular o item b . Para isso, vamos relembrar a definição de momento angular: l → = r → × p → , onde p é o momento linear, além de recordar o momento angular de corpos rígidos, dado por L = I ⋅ ω . Agora sim, podemos calcular o momento angular total do sistema antes da colisão.

L → antes = l → 1 + l → 2 + l → haste + l → 3

Passo 3

Vamos primeiro calcular o momento angular L 1 → referente aos componentes do corpo rígido. Nessa parte da equação é só copiar e colar, pois temos os momentos de inérica, já calculados no item a , e sabemos também a velocidade angular ω 0 .

L 1 → = I 1 ⋅ ω 0 + I 2 ⋅ ω 0 + I haste ⋅ ω 0 - k ^

L 1 → = 1 × 10 - 3 + 9,62 × 10 - 3 + 7 × 10 - 3 ⋅ 10 - k ^

L 1 → = 1,762 × 10 - 1     kg⋅ m 2 /s   - k ^  

Passo 4

Agora vamos calcular o momento angular l 3 → da esfera de massa   m 3 . No momento da colisão, sabemos que a esfera está com uma velocidade v 3 → = 20   m/s   e que estará à mesma distância do ponto P   que está o aro, ou seja 0,31   m . Com isso, temos:

l 3 → = r → 3 × p → 3

l 3 → = 0,31 ⋅ m 3 ⋅ v 3 ⋅   s e n 90 ° - 20 °   ( k ^ )

l 3 → = 0,31 ⋅ 0,2 ⋅ 20 ⋅ 0,94   ( k ^ )

l 3 → = 1,165   kg⋅ m 2 /s   ( k ^ )

Passo 5

Portanto, o momento angular total, antes da colisão será:

L → antes = L 1 → + l 3 →

L → antes = 1,762 × 10 - 1 - k ^ + 1,165 ( k ^ )

L → antes = 9,89 × 10 - 1   kg⋅ m 2 /s   ( k ^ )

Como consideramos parte do sistema, todas os componentes, e calculamos o momento angular com isso em mente, durante a colisão nenhum torque externo age sobre o sistema, desse modo haverá sim a conservação do momento angular total do conjunto durante a colisão.

Passo 6

c )

Para encontrar a velocidade angular após a colisão, iremos recorrer justamente à conservação do momento angular.

L → antes = L → depois

L → antes = I 1 + I 2 + I haste + I 3 ⋅ ω f →

Como já calculamos o momento de inércia dos três primeiros componentes. Precisamos agora calcular o momento de inércia da esfera que ficou presa no aro.

Passo 7

Podemos calcular o momento de inércia da esfera, assim como calculamos no item a , se liga! Ah...lembra que a esfera estará àquela mesma distância 0,31   m do ponto P . Ficou super fácil!

I 3 = m 3 ⋅ 0,31 2

I 3 = 19,2 × 10 - 3   kg⋅ m 2

Passo 8

Agora sim podemos terminar. Voltando à equação de conservação do momento angular, temos:

L → antes = I 1 + I 2 + I h a s t e + I 3 ⋅ ω f →

9,89 × 10 - 1 k ^ = 17,62 × 10 - 3 + 19,2 × 10 - 3 ⋅ ω f →

ω f → = 26,9 rad s ( k ^ )

ω f = 26,9   rad/s

sentido anti-horário! É só usar a regra da mão direita!

Resposta

a )   I 1 = 1 × 10 - 3   kg⋅ m 2 ;   I 2 = 9,62 × 10 - 3   kg⋅ m 2 ;   I haste = 7 × 10 - 3   kg⋅ m 2

b )   L → antes = 9,89 × 10 - 1   kg⋅ m 2 /s   ( k ^ ) ; Sim, haverá conservação do momento angular .

c )   ω f = 26,9   rad/s; sentido anti-horário

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