Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

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Enunciado

Mostrar que o vetor  v → = ( 4 ,   3 ,   - 6 ) não é combinação linear de   v 1 → = ( 1 ,   - 3 ,   2 ) e   v 2 → = ( 2 ,   4 ,   - 1 ) .

Passo 1

Ok, vamos começar tentando escrever  v → como C L de   v 1 → e   v 2 → !

Ficaria assim:

v → = a v 1 → + b v 2 →

4 ,   3 ,   - 6 = a 1 ,   - 3 ,   2 + b 2,4 ,   - 1

Abrindo em um sisteminha,

4 = 1 a + 2 b     I 3 = - 3 a + 4 b     I I - 6 = 2 a - 1 b     I I I

De ( I ) tiramos que a = 4 - 2 b   ( i ) .

Substituindo em ( I I ) ,

3 = - 3 4 - 2 b + 4 b

3 = - 12 + 6 b + 4 b

15 = 10 b

b = 15 10 = 1,5

Substituindo b = 1 ,   5 em ( i ) ,

a = 4 - 2 × 1 ,   5

a = 1

Show! Achamos a e b ! Agora precisamos ver se esses valores encontrados satisfazem a equação ( I I I ) .

Substituindo a = 1 ,   b = 1 ,   5 em ( I I I ) :

2 × 1 - 1 ,   5 =   ?

2 - 1 ,   5 = 0,5 ≠ - 6

Logo, os valores de a e b não satisfazem a equação ( I I I ) e   v → não é C L de   v 1 → e   v 2 → !

Resposta

v → não é C L de   v 1 → e   v 2 → !

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Seja E = e → 1 , e → 2 , e → 3 uma base . Sejam f 1 → = e → 1 - e → 2 + e → 3 , f 2 → = e → 2 + e → 3 e f 3 → = - 2 e → 3 (a)Mostre que F = ( f 1 → , f 2 , → f 3 → ) também é uma base.
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