Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

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Enunciado

Quais valores para α e β fazem com que o vetor 5 , 1 , - 1,0 seja uma combinação linear de α + β , 1,1 , α e 2,1 , 0,1 ?

a   α = 2 e β = - 3

b α = - 4 e β = - 2

( c ) α = 1 e β = 5

( d ) α = 5 e β = 0

Passo 1

Se ela é combinação linear das outras duas então:

5,1 , - 1,0 = x α + β , 1,1 , α + y 2,1 , 0,1

Beleza, vamos jogar isso num sistema:

x α + β + 2 y = 5 x + y = 1 x = - 1 x α + y = 0           I I I I I I I V

Opa, já sabemos de cara que x = - 1 pela I I I . Substituindo isso na I I :

- 1 + y = 1

y = 2

Agora substituímos x e y na I V :

- α + 2 = 0

α = 2

Por fim, substituímos tudo na I :

- 2 + β + 4 = 5

- β + 2 = 5

β = - 3

Resposta

Letra ( a )

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Sejam A = (1, 2, 3), B = (3, −1, 2), C = (4, 3, −1) e D = (5, −15, 6). Mostre que os vetores u=A B → ,v=A C →ew=A D → são linearmente dependentes e ache a equação de um plano que contenha os pontos A,
Seja E = e → 1 , e → 2 , e → 3 uma base . Sejam f 1 → = e → 1 - e → 2 + e → 3 , f 2 → = e → 2 + e → 3 e f 3 → = - 2 e → 3 (a)Mostre que F = ( f 1 → , f 2 , → f 3 → ) também é uma base.
Seja B = u → 1 , u → 2 , u → 3 uma base de V . (b)Se a → = 1 , - 3,2 B , quais são as coordenadas de a → na base C ?
Dadas as bases: E = ( - 1,1 , 0 B , 1,1 , 2 B , - 1,0 , 1 B ) e F = 0,1 , 1 E , 1,2 , - 1 E , 2 , - 1,0 E , determine na base B as coordenadas de v → = - 1,2 , - 3 E - - 2,1 , 1 F
Seja B = (vec u_1 , vec u_2 , vec u_3) uma base de V . (a)Demonstre que C = (vec v_1 , vec v_2 , vec v_3) , com vec v_1 = vec u_1 + 2 vec u_2 + vec u_3 , vec v_2 = vec u_1 - vec u_2 - vec u_3 e vec v_