Considere um sistema composto por um cilindro de massa 2 M e raio R , uma haste de massa 2 M e comprimento 6 R e dois discos de massa M . Os discos estão encostados no cilindro, presos por um freio, como ilustra a figura. Um torque externo coloca o sistema em rotação em torno do eixo-y no sentido horário sendo desligado quando a velocidade angular ω i é alcançada. Neste instante o freio que prende os discos é retirado e os discos deslizam pela haste até as suas extremidades.

a) Encontre a nova velocidade angular do sistema ω f quando os discos chegarem nas extremidades da haste. Considere os discos como massas pontuais.

Dados: I c m = β m R 2 sendo:

β a n e l = 1 ;

β c i l i n d r o / d i s c o = 1 2 ;

β e s f e r a = 2 5 ;

I c m   b a r r a = 1 12 m l 2 ;

Passo 1

Basicamente o encunciado diz que esse sistema está girando com uma velocidade ω i quando a trava dos discos é retirada e eles escorregam até a extremidade da barra.

Mas repara que não houve nenhum torque externo sobre o sistema. Assim, o Momento Angular L se conserva:

L i = L f

I i ω i = I f ω f

Como o momento de inércia muda conforme os discos escorregam para a extremidade, a velocidade angular também vai mudar.

Então, a questão basicamente é encontrar os momentos de inércia inicial I i e final I f e aplicar na conservação do Momento Angular.

Passo 2

O momento de inércia inicial será:

I i = I c i l i n d r o + I h a s t e + I d i s c o   1 + I d i s c o   2

Como os dois discos estão a uma mesma distância do eixo de rotação, eles têm o mesmo momento de inércia.

I i = I c i l i n d r o + I h a s t e + 2 I d i s c o

No formulário temos o momento de inércia para cada um desses caras. Mas precisamos saber com relação a qual eixo de rotação essas fórmulas se referem.

Para o cilindro a fórmula se refere a um eixo assim:

I = m R 2 2

Então ok, podemos usar!

I c i l i n d r o = 2 M R 2 2 = M R 2

Para a haste, a fórmula se refere a um eixo assim:

I = m l 2 12

Então ok, também podemos usar!

I h a s t e = 2 M 6 R 2 12 = 6 M R 2

Já para o disco, a fórmula se refere a um eixo passando pelo seu centro:

Não é o que acontece, então a fórmula não se aplica ao caso.

Os dois discos no sistema estão como partículas afastadas de uma distância R do eixo de rotação, então o momento de inpercia será:

I d i s c o = M R 2

Somando tudo, temos:

I i = I c i l i n d r o + I h a s t e + 2 I d i s c o

I i = M R 2 + 6 M R 2 + 2 M R 2

I i = 9 M R 2

Passo 3

Já na nova configuração, temos que o momento de inércia será:

I f = I c i l i n d r o + I h a s t e + 2 I d i s c o '

Onde I c i l i n d r o e I h a s t e são os mesmos, porém o I d i s c o ' é o momento de inércia dos discos na extremidade da haste.

A distância da extremidade da haste ao eixo de rotação é igual a metade do comprimento da haste, ou seja, 3 R .

I d i s c o ' = M 3 R 2 = 9 M R 2

Calculando I f :

I f = M R 2 + 6 M R 2 + 2 9 M R 2

I f = 25 M R 2

Passo 4

Agora, só falta substituir na conservação de momento angular:

I i ω i = I f ω f

9 M R 2 ω i = 25 M R 2 ω f

Cortando o termo M R 2 dos dois lados, achamos que:

ω f = 9 25 ω i

Resposta

ω f = 9 25 ω i

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