Um corpo uniforme de massa m = 300   g está preso a um fio ideal de massa desprezível que passa por um buraco no centro da superfície. A superfície se encontra no plano x y . O corpo está inicialmente descrevendo uma trajetória circular em sentido anti-horário sobre a superfície horizontal com velocidade linear inicial v i = 1   m / s e raio inicial medido a partir do seu centro de massa de R i = 20,0   c m . O fio é puxado por uma força F após o fio ter passado pelo buraco conforme a figura.

Quando a força F para de atuar, o raio da trajetória final é de R f = 5   c m . Desconsidere o atrito entre o fio e o buraco e entre o corpo e a superfície.

a) Determine o vetor momento angular inicial do corpo girando em torno do eixo de rotação.

b) Determine o vetor velocidade angular final do corpo.

c) Encontre o trabalho realizado pela força F sobre o corpo.

d) Marque a única alternativa correta: Após ter reduzido o raio da trajetória em relação a trajetória inicial,

(i) o momento angular e a energia cinética se conservam pois não há força externa atuando no sistema.

(ii) o momento angular se conserva pois não há forças externas produzindo um torque no sistema e a energia cinética não se conserva.

(iii) o momento angular não se conserva, pois a força produz um torque externo no sistema e a

energia cinética se conserva pois não há colisão.

(iv) o momento angular não se conserva, pois a força produz um torque externo no sistema e a

energia cinética não se conserva.

(v) o momento de inércia do sistema muda, por isso não se conservam nem o momento angular e nem a energia cinética.

(vi) Nenhuma das afirmações anteriores está correta.

Passo 1

Fala pessoal, bora resolver esse problema sobre conservação do momento angular?

O momento angular de uma partícula é definido por

L → = r → × p →

Para uma partícula em movimento circular, temos

L = R p = m R v

Substituindo os valores:

L i = 0,3   k g ⋅ 0,2   m ⋅ 1 m s = 0,06   k g   m 2 / s

O vetor deve apontar na direção z ^ , de modo que o vetor momento angular inicial é

L → i = 0,06   z ^   k g   m 2 / s

Passo 2

Para resolver o item (b) vamos usar a conservação do momento angular:

L i = L f

m R i v i = m R f v f

Como v = ω R , temos que

R i v i = ω f R f 2 → ω f = R i v i R f 2

Substituindo os valores:

ω f = 0,2 ⋅ 1 0,05 2 = 80   r a d / s

Assim, o vetor velocidade angular é

ω → f = 80   z ^   r a d / s

Passo 3

No item (c) queremos achar o trabalho da força F . Basta lembrar que o trabalho é igual a variação da energia cinética:

W = Δ K = 1 2 m v f 2 - 1 2 m v i 2

Já sabemos que v i = 1   m / s , enquanto

v f = ω f R f = 80 ⋅ 0,05 = 4   m / s

Portanto,

W = 0,3 2 4 2 - 1 2 = 0,15 ⋅ 15 → W = 2,25   J

Passo 4

No último item temos que ver qual afirmação é verdadeira. Como a única força externa sobre o sistema atua sobre o eixo, o torque sobre o sistema é nulo. Com isso, o momento angular do sistema se conserva (usamos isso no item (b)).

Por outro lado, vimos no item (c) que a energia cinética não se conserva, já que um trabalho externo é feito sobre o sistema. Portanto, a afirmativa correta é a (ii)!

Resposta

L → i = 0,06   z ^   k g   m 2 / s

ω → f = 80   z ^   r a d / s

W = 2,25   J

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