A figura mostra uma haste de massa M   =   3   k g e comprimento H   =   4   m disposta verticalmente, e que se encontra inicialmente em repouso. A haste está pivotada na extremidade superior (ponto O ) em torno da qual pode girar sem atrito. A haste é atingida a uma distância d   =   3   m do ponto O (conforme figura) por uma massa de modelar de massa m   =   1   k g que se desloca horizontalmente para a direita com velocidade escalar v no momento da colisão. Após a colisão, a massa de modelar permanece grudada na haste. O momento de inércia da haste em relação ao seu centro de massa é I C M   = 1 12 M L 2 . Considere que a massa de modelar pode ser tratada como uma partícula e g   =   10   m / s 2 .

(a) Qual é o momento de inércia do sistema (haste + massa) em relação ao eixo de rotação após a colisão?

(b) Qual é a velocidade angular ω do sistema, em função de v , imediatamente após a colisão?

(c) Qual é a razão entre a energia cinética do sistema após a colisão e a energia cinética da massa de modelar imediatamente antes da colisão?

(d) Qual deve ser o valor de v para que o maior ângulo possível entre a haste e a vertical seja 90 0 ?

Passo 1

(a) Após a colisão, a massa de modelar gruda na haste e o momento de inércia em relação ao eixo de rotação é dado por:

I = 1 12   M H 2 + M H 2 2 + m d 2 = 25 k g . m 2

Passo 2

(b) Usando a conservação do momento angular, temos que:

L i = L f

onde L i se refere ao momento angular do sistema imediatamente antes da colisão, e L f se refere ao momento angular do sistema imediatamente após a colisão, ambos medidos em relação ao ponto O . Como apenas a massa de modelar possui velocidade antes da colisão, temos que L i   =   m v d . Após a colisão, a massa de modelar gruda na haste e o momento angular final é dado por L f   =   I ω . Igualando-se os momentos angulares inicial e final temos que:

m v d = 1 3 M H 2 + m d 2 ω

e finalmente obtemos:

ω = m v d 1 3 M H 2 + m d 2 = 3 v 25

Passo 3

(c) A energia cinética inicial imediatamente antes da colisão corresponde à energia cinética da massa de modelar, K i   = 1 2 m v 2   = v 2 2 . Já a energia cinética do sistema imediatamente após a colisão é igual a energia cinética de rotação do sistema, K f   = 1 2 I ω 2 . Utilizando o resultado do item (a), obtemos que

K f = 1 2   .   25   .   3 v 25 2 = 9 v 2 50

Logo, a razão K f K i = 9 25 independe de v .

Passo 4

(d) Assumindo que y   =   0 na posição do eixo de rotação, temos que imediatamente após a colisão a posição do centro de massa do sistema é dada por:

y c m , i = m - d + M - H 2 m + M =   - 9 4 m

de forma que a variação da posição do centro de massa quando o ângulo entre a haste e a vertical é 90 o é igual a ∆ y c m   = 9 4 m . Dado que a energia mecânica do sistema se conserva após a colisão, toda a energia cinética de rotação é transformada em energia potencial gravitacional do sistema, onde ∆ U   =   m   +   M g ∆ y c m . Assim sendo,

1 2 I ω 2 = m + M g Δ y c m → 1 2   .   25   . 9 v 2 625 = 4   .   10   . 9 4 → v 2 = 500 → v = 10 5   m / s  

Resposta

(a) 25 k g . m 2

(b) ω = 3 v 25

(c) 9 25

(d) 10 5   m / s

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