Uma haste de 1,0   m de comprimento e momento de inércia I H = 2 / 3   k g . m 2 está montada horizontalmente (plano x y ) de modo a poder girar livremente no sentido horário em torno de um eixo na posição vertical. O eixo passa pelo centro de massa da haste.

Em uma das suas extremidades está um dispositivo que lança bolinhas através de uma mola. O dispositivo tem massa desprezível e contém 1 bolinha com momento d einércia I B = 1 / 3   k g . m 2 em relação ao centro de massa da haste.

A haste é posta em rotação e alcança a velocidade angular ω = 6.0   r a d / s . No instante em que o dispositivo passa pelo eixo y positivo, ele lança a bolinha perpendicularmente à haste. Imediatamente após o lançamento, a velocidade angular da haste fica reduzida à metade.

  1. Determine a razão entre a massa da haste e a massa da bolinha.
  2. Determine o momento angular L → i do sistema, em relação à origem do sistema de coordenadas, imediatamente antes do dispositivo lançar a bolinha. Determine a velocidade tangencial v → f da bolinha imediatamente após o lançamento.

Passo 1

Letra a)

O problema nos dá os valores numéricos do momento de inércia da haste e da bola. Porém, a equação que dá cada um é sabida.

No caso da haste:

I H = M H L 2 12 = 2 3

Onde L é o comprimento da haste.

Já para a bolinha girando (note que o sistema de molas tem “massa desprezível”, então não precisamos nos preocupar com ele):

I B = M B R 2 = M L 2 2 = 1 3

Onde R é a distância da bolinha até o eixo de rotação, que no caso é a metade do comprimento da haste, L / 2 .

Para acharmos a razão entre as massas, podemos dividir os momentos de inércia.

I H I B = M H L 2 / 12 M B L 2 / 4 = 2 / 3 1 / 3

I H I B = M H M B ⋅ 1 3 = 2

M H M B = 3 ⋅ 2 = 6

Por esse método, também seria possível encontrarmos a massa da haste e a massa da bolinha.

I H = M H L 2 12 = 2 3

M H = 4 ⋅ 2 L 2 = 8 1 2 = 8   K g

6 M B = M H → M B = 8 6 = 4 3   K g

Passo 2

Letra b)

Para calcularmos o momento angular imediatamente antes do lançamento da bolinha, temos que somar o momento angular do dispositivo (lembrando que a parte da mola é desprezível, então só importa a bolinha) e da haste.

L i = I H ω H + I B ω B

Porém, como a haste e a bolinha giram juntos

L i = I H + I B ω = 1 ⋅ 6 = 6   K g . m 2 / s

Porém, queremos o vetor momento angular. Neste caso, como a barrinha gira no sentido horário, temos que ω = 6   r a d / s - k ^ . Logo:

L → i = 6   K g . m 2 / s - k ^

Passo 3

Para achar a velocidade tangencial da bolinha no instante após o lançamento, usamos a conservação do momento angular.

L → i = L → f

Note que queremos igualar os vetores momento angular antes e depois. No momento do lançamento, teremos o dispositivo na parte positiva do eixo y , logo:

Para a velocidade angular da haste diminuir quando a bolinha é lançada, a bolinha deve ter sido lançada no sentido positivo do eixo x (assim, a reação seria no sentido negativo, retardando a haste).

v → f = v f i ^

A parte do momento angular final devido à haste vai ser:

L → f , H = I H ω → 2 = 2 3 ⋅ 6 2 - k ^ = 2   K g . m 2 / s - k ^

Já no caso da bolinha, agora ela não vai ter mais a mesma velocidade angular que a haste. Porém, a bolinha está seguindo no mesmo sentido que a ponta da haste, o que significa que sua velocidade angular também vai apontar no sentido negativo do eixo z .

ω → B = ω B - k ^

Assim:

L → f , B = I B ω → B = I B ω B - k ^

Porém, pela cinemática do problema, podemos relacionar o módulo da velocidade angular da bolinha com o da velocidade linear.

ω B = v f l / 2

L → f , B = I B l / 2 ⋅ v f - k ^ = 1 3 1 2 ⋅ v f - k ^ = 2 3 v f - k ^

Colocando tudo na conservação do momento angular

L → i = L → f

6   K g . m 2 / s - k ^ = 2   K g . m 2 / s - k ^ + 2 3 v f - k ^

Como estão todos no mesmo sentido:

6 = 2 + 2 3 v f

v f = 4 ⋅ 3 2 = 6   m / s

Temos então:

v → f = 6   m / s i ^

Resposta

Letra a)

M H M B = 6

Letra b)

L → i = 6   K g . m 2 / s - k ^

v → f = 6   m / s i ^

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