Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

Uma casca esférica condutora de raio interno R 1 = 10 c m e raio externo R 2 = 15 c m é carregada com uma carga liquida positiva Q 0 = 10 - 5 C . No interior da casca é posicionada uma pequena esfera condutora, de raio R A = 2,5 c m , carregada com a mesma carga Q 0 . Considere que V = 0 no infinito e que k = 10 10 N m 2 / C 2

  1. Determine as expressões do potencial elétrico V   nas regiões:
    1. r = 2 R 2
    2. R 1 < r < R 2
  2. Se uma carga igual a - 2 Q 0 é transportada do infinito até ser depositada na casca esférica, calcule (utilizando os valores fornecidos), nesta nova condição, quais são as densidades de carga superficiais σ na superfície da esfera de raio R A   ( σ A ) e nas superfícies internas σ i n t e externas ( σ e x t ) da casca esférica.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

O potencial é

V = k Q r

A carga Q será 2 Q 0 ( Q 0 da carga induzida e mais Q 0 da carga líquida dentro da região), e r = 2 R 2 , assim o potencial vale:

V = k 2 Q 0 2 R 2 = 2.10 10 . 10 - 5 2.15 × 10 - 2 = 6,7 × 10 5 V

E para R 1 < r < R 2   estamos dentro do condutor da casca esférica, assim temos um potencial que é igual aquele para r = R 2 , portanto:

V = k 2 Q 0 R 2 = 2.10 10 . 10 - 5 15 × 10 - 2 = 1,3 × 10 6 V

Passo 2

Letra (b):

Na nova situação é alterada somente a carga na superfície externa da casca, então:

Q = + 2 Q 0 - 2 Q 0 = 0

E temos apenas Q 0 na superfície em r = R A . A densidade superficial de carga interna é:

σ A = Q 0 4 π R A 2 = 10 - 5 4 π 2,5 × 10 - 2 2 = 1,27 × 10 - 3 C / m 2

E internamente, em r = R 1 , a carga é a mesma Q 0 , mas com sinal negativo, daí a densidade fica:

σ i n t = - Q 0 4 π R 1 2 = - 10 - 5 4 π 10 × 10 - 2 2 = - 8 × 10 - 5 C / m 2

E por fim externamente como não temos carga líquida, a densidade superficial é nula:

σ e x t = 0

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a )   i V = 6,7 × 10 5 V

i i V = 1,3 × 10 6 V

b ) σ A = 1,27 × 10 - 3 C / m 2

σ i n t = - 8 × 10 - 5 C / m 2

σ e x t = 0

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