Exercícios Resolvidos de Densidade de Corrente Uniforme

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Enunciado

Uma esfera condutora de raio a está no interior de uma casca esférica fina condutora de raio 2 a . A esfera e a casca esférica são concêntricas e o espaço entre elas está preenchido com

um material de condutividade σ r = A r constante, ( A é uma constante positiva). Uma

corrente elétrica I , uniformemente distribuída através do material entre os condutores, flui da esfera interna para a casca esférica.

  1. Determine a dimensão da constante A no Sistema Internacional de Unidades.
  2. Calcule a resistência elétrica entre os condutores.
  3. Dada uma diferença de potencial V aplicada entre as duas superfícies, calcule o vetor densidade de corrente J → r em função dos dados do problema.

Passo 1

a)O enunciado disse pra gente que a condutividade é dada por σ r = A r . Vamos lembrar que a condutividade de um material tem unidade de inverso de resistência multiplicado pelo inverso de unidade de comprimento e que r é uma unidade de comprimento, então:

1 [ O h m ] × [ m ] = [ A ] [ m ]

A = 1 [ O h m ]

Então, A tem unidade do inverso de Ohm.

Passo 2

b)A gente pode considerar que a camada entre os dois condutores é infinitesimal com espessura d r . Vamos lembrar também que a superfície de uma esfera tem área 4 π r ² .

Então podemos calcular a resistência dessa camada pela expressão:

d R = 1 σ r d r 4 π r ²

Que substituindo σ r , também pode ser escrita como:

d R = 1 A 1 4 π d r r

Integrando d R de r = a até r = 2 a , temos que

R = 1 4 π A ∫ a 2 a d r r

R = 1 4 π A ∫ a 2 a d r r

Então, a nossa resistência vai ser

R = l n ( 2 ) 4 π A

Passo 3

c)A diferença de potencial aplicada vai gerar uma corrente certo? A gente pode escrever essa corrente isolando o I na Lei de Ohm:

I = V R

Do item b, nós sabemos qual a expressão para R , vamos substituir então

I = V l n ( 2 ) 4 π A

I = 4 π A V l n ( 2 )

Por conservação de carga, devemos ter I = ∯ J → . d A → para qualquer superfície fechada passando entre a e 2 a .

Vamos então considerar, usando simetria radial, uma superfície esférica de raio r   ( a ≤ r ≤ 2 a ) :

I = ∯ J → . d A →

I = J ( r ) r ^ × 4 π r ² r ^

Mas ali em cima a gente também calculou que I = 4 π A V l n ( 2 )

Então vamos igualar as duas expressões

J ( r ) r ^ × 4 π r ² r ^ = 4 π A V l n ( 2 )

Então, a nossa densidade de carga J vai ser:

J → = A V l n ( 2 ) r ² r ^

Resposta

  1. Ohm.
  2. R = l n ( 2 ) 4 π A
  3. J → = A V l n ( 2 ) r ² r ^

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