Exercícios Resolvidos de Dielétricos

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Enunciado

A figura abaixo ilustra um capacitor de placas metálicas esféricas de raios a e b , com a < b . As placas são concêntricas e centradas na origem O . O espaço entre as placas é completamente preenchido por uma substância não-condutora de constante dielétrica κ . Nas regiões restantes ( 0 ≤ r < a e r > b ) há vácuo, onde r é a distância radial até a origem O . A constante de permissividade do vácuo é dada por ε 0 .

  1. Calcule a capacitância do dispositivo usando a lei de Gauss, determinando a diferença de potencial entre as placas e finalmente aplicando a definição de capacitância.
  2. Considerando que uma diferença de potencial V é aplicada entre as duas placas metálicas, calcule a carga livre Q da placa interna.
  3. Nas mesmas condições do item (b), calcule a carga Q ’ induzida na superfície do dielétrico que se encontra mais próxima da placa metálica interna.

Passo 1

A primeira coisa que precisamos lembrar aqui é que a nova capacitância C após a inserção do dielétrico com constante dielétrica κ > 1 é dada por:

C = κ C 0 > C 0   ,

sendo que C 0 é a capacitância no vácuo e é dada por

C 0 = Q V a b   ,

com V a b sendo a diferença de potencial entre as esferas metálicas e Q o módulo das suas respectivas cargas, como mostra a figura abaixo.

O potencial, por outro lado, a gente já viu que tem a seguinte equação:

V a b ≡ V a - V b = ∫ a b E → ⋅ d r →   ,

em que   d r → é o elemento infinitesimal de caminho que está na direção radial e  E → é o campo elétrico dentro da região a < r < b .

Precisamos encontrar o campo elétrico nessa região, jogar na expressão para V a b , resolver a integral e depois aplicar, no resultado, a definição de capacitância.

Bora lá?!!

Passo 2

a) Na figura abaixo, mostramos três gaussianas esféricas, G 1 , G 2 e G 3 .

Vamos olhar primeiro as gaussianas esféricas G 1 e G 3 . Dentro da gaussiana G 1 não há nenhuma carga. Por isso, não tem campo elétrico na região r < a , ou seja, E 0 < r < a = 0 . Já no interior da superfície gaussiana G 3 , a carga Q i n t é dada por:

Q i n t = + Q + - Q = 0 ⇒ E r > b = 0   .

Agora, na região a < r < b , onde temos a gaussiana esférica G 2 , temos que a carga líquida no interior dessa gaussiana é Q i n t = + Q . Como essa carga é positiva, o campo elétrico que ela produz aponta saindo da superfície de raio a e é paralelo ao vetor   d A → , como está desenhado na figura acima.

Além disso, o campo elétrico tem o mesmo valor E ( r ) em todos os pontos sobre a gaussiana esférica G 2 . Colocando tudo isso dentro da lei de Gauss, vamos ter o seguinte:

Φ E = ∮ G 1 E → ⋅ d A → = ∫ E r d A = E r ∫ d A = E r 4 π r 2 = Q ε 0   ,

que dá um vetor campo elétrico na região a < r < b dado por:

E → = E r r ^ = Q 4 π ε 0 r 2     r ^   .

Passo 3

a) Continuação...

Para calcular o potencial V a b = V , precisamos orientar o elemento radial  d r → . Vamos colocar esse elemento no mesmo sentido do campo elétrico  E → = E r   r ^ que acabamos de encontrar, isto é, escrevê-lo como   d r → = d r   r ^ .

Quando a gente coloca isso dentro da expressão para V a b e utilizamos o campo que encontramos no Passo 2, obtemos que:

V ≡ V a b = V a - V b = ∫ a b E → ⋅ d r →   = ∫ a b E r d r = Q 4 π ε 0 ∫ a b d r r 2   .

Resolvendo essa integral, encontramos

V = Q 4 π ε 0 1 a - 1 b ⇒ C 0 = Q V = 4 π ε 0 a b b - a   .

Para fechar, então, a capacitância desse capacitor esférico quando ele é preenchido pelo dielétrico κ é:

C = κ C 0 = 4 π κ ε 0 a b b - a   .

Passo 4

b) A carga interna Q do capacitor é:

Q = C V a b = 4 π κ ε 0 a b V a b b - a   .

Passo 5

c) Quando colocamos o dielétrico dentro da região a < r < b , o campo elétrico presente nessa região faz com que as cargas do dielétrico fiquem polarizadas: uma carga induzida negativa – Q ’ se aproxima da carga positiva livre + Q do capacitor e uma carga positiva + Q ’ é induzida e se aproxima da carga livre negativa – Q do capacitor, como mostra a figura abaixo.

O campo elétrico  E → ' gerado pelas cargas induzidas + Q ’ e – Q ’ se opõe ao campo elétrico  E → 0 criado pelas cargas livres + Q e – Q do capacitor. Por isso, o módulo do campo elétrico total E na região a < r < b é dado por:

E = E 0 - E '   .

Então, o campo inicial E 0 nessa região diminui quando o dielétrico é introduzido e a gente pode escrevê-lo como: E = E 0 κ < E 0 , com κ > 1 . Jogando na expressão acima, o campo induzido E ' é:

E ' = E 0 - E = E 0 - E 0 κ ⇒ E ' = κ - 1 κ E 0   .

Mas podemos representar os campos elétricos E ' e E 0 como:

E ' = σ ' ε 0 = Q ' A ε 0     ;   E 0 = σ ε 0 = Q A ε 0   .

Substituindo essas expressões naquela para E ' , obtemos que a carga induzida vai ser:

Q ' = Q κ - 1 κ ⇒ Q ' = 4 π ε 0 κ - 1 a b V   b - a   ,

em que utilizamos a expressão para Q obtida no Passo 4.

Resposta

  1. C = κ C 0 = 4 π κ ε 0 a b b - a     ;
  2. Q = C V = 4 π ( κ ε 0 ) a b V b - a   ;
  3. Q ' = 4 π ε 0 κ - 1 a b V   b - a     .

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