Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Função Vetorial

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Enunciado

14. Se a função f aplicada em um vetor não nulo r → = X   ∈   R n é uma função real do seu comprimento r = r → , isto é, f r → = g r e se g é diferenciável,

a) mostre que ∇ f r → = g ' r r r →

b) determine ∇ f r → quando i   g r = 1 r 3   i i g r = ln ⁡ r

Passo 1

a) Mostrar ∇ f r → = g ' r r r →

Sabemos que

r → = X = x 1 , x 2 , … , x n

f r → = g r

Então:

∇ f r → = ∇ g r

Sabemos calcular ∇ g r :

∇ g r = ∂ g ∂ r ∂ r ∂ x 1 + ∂ g ∂ r ∂ r ∂ x 2 + … + ∂ g ∂ r ∂ r ∂ x n = ∂ g ∂ r ∂ r ∂ x 1 + ∂ r ∂ x 2 + … + ∂ r ∂ x n

Ajeitando temos:

∇ g r = g ' r ∂ r ∂ x 1 + ∂ r ∂ x 2 + … + ∂ r ∂ x n

Passo 2

Como r = x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 podemos calcular suas derivadas parciais fica:

∇ g r = g ' r 1 2 x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 2 x 1 + 1 2 x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 2 x 2 + … + 1 2 x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 2 x n

Substituindo r temos:

∇ g r = g ' r 1 r x 1 + 1 r x 2 + … + 1 r x n

Colocando em evidência e ajeitando:

∇ g r = g ' r r x 1 + x 2 + … + x n = g ' r r . r →

Portanto, está provado que ∇ f r → = g ' r r r →

Passo 3

b) i)

g r = 1 r 3

g ' r = - 3 r 4

Então

∇ f r → = g ' r r r →

Substituindo temos:

∇ f r → = - 3 r 5 r →

Passo 4

b) ii)

g r = ln ⁡ r

g ' r = 1 r

Então

∇ f r → = g ' r r r →

Substituindo temos:

∇ f r → = 1 r 2 r →

Resposta

B)

i )   ∇ f r → = - 3 r 5 r →

i i ) ∇ f r → = 1 r 2 r →

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