Considere
- Determine a equação do plano tangente ao gráfico de em ; e também a diferencial
- Numa vizinhança de , calcule e considerando as variações e
- O que significa a diferença entre os valores que você encontrou no item anterior em termos práticos? Justifique.
Passo 1
Opa, plano tangente. É só seguir o passo a passo.
Primeiro vamos jogar tudo pra um lado só na equação da superfície e chamar de :
O gradiente de é:
No ponto de tangencia :
Passo 2
Assim, a equação do plano tangente é
Os valores de já temos: .
Agora vamos encontrar :
Voltando a equação do plano tangente então:
Passo 3
A diferencial é dada por
As derivadas parciais nós já calculamos no passo 1. Assim,
Passo 4
Agora temos que calcular e .
Vamos começar por . Vê se você concorda comigo:
No nosso caso, temos variando de até , ou seja
Vamos então calcular porque já calculamos na letra .
Então, nosso vai ser
Passo 5
Agora falta calcular o diferencial .
Pra isso é só substituir na fórmula mesmo.
Na letra achamos
Então, quando temos variando de até , ficamos com
Passo 6
representa a variação da função quando varia de até .
Já representa a variação da aproximação linear de em torno do ponto quando varia de até .
Geometricamente falando, representa a diferença de altura no gráfico da função quando essa variaão de ocorre e representa a diferença de altura no plano tangente da função (aproximação linear).
Dessa forma, a diferença
Significa que cometemos um erro de unidades quando calculamos o valor de a partir da aproximação linear e não a partir da própria função.
Resposta
- e
- e