Exercícios Resolvidos de Dipolos Elétricos

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Enunciado

Quadrupolo elétrico.

A figura abaixo mostra um quadrupolo elétrico.

Ele é formado por dois dipolos com momentos de dipolo que são iguais em módulo, têm a mesma direção, mas sentidos contrários.

Mostre que o valor de E sobre o eixo do quadrupolo, para um ponto P a uma distância z do seu centro (suponha que z ≫ d ) é dado por:

E = 3 Q 4 π ε 0 z 4

Onde Q = 2 q d 2 é chamado de momento quadrupolar da distribuição de cargas.

Passo 1

Vamos nessa! Notou que esse desenho é meio diferente do que a gente tava vendo nesse capítulo? Isso porque não tem nenhum triângulo nesse desenho!

E agora? Qual é o campo elétrico de um dipolo gerado nesse caso?

Acompanha comigo. Olha o desenho abaixo:

O campo resultante em P mede:

E = E + q - E - q = q 4 π ε 0 a - d 2 2 - q 4 π ε 0 a + d 2 2 = q 4 π ε 0 a 2 . 1 1 - d 2 a 2 - 1 1 + d 2 a 2

Simplificando, temos:

E = q 4 π ε 0 a 2 2 d / a 1 - d 2 a 2 2 = q 2 π ε 0 a 3 d 1 - d 2 a 2 2

Considerando a ≫ d , d a ≪ 1 . Logo, temos:

E = q d 2 π ε 0 a 3

Além disso, dessa vez o campo elétrico tem o mesmo sentido do dipolo. Logo, a fórmula do campo elétrico gerado por um dipolo nesse caso é:

E → = 1 2 π ε 0 p → a 3

p = q d

Onde q é o módulo de uma das cargas, d é a distância entre as cargas e a é a distância entre o ponto médio entre as cargas e o ponto que estamos calculando o campo elétrico.

O momento dipolar elétrico p → é o vetor que aponta da carga negativa para a carga positiva.

Show de bola! O quadrupolo magnético nada mais é do que um arranjo com dois dipolos elétricos, então, o campo elétrico resultando do quadrupolo é o somatório do campo elétrico dos dois dipolos elétricos.

Passo 2

Vamos começar calculando o campo elétrico para o dipolo elétrico mais próximo do ponto P .

Vou adotar o referencial positivo da esquerda para a direita, beleza?

Pra esse dipolo, a distância entre o centro do dipolo até o ponto P é z - d 2 .

Sabemos que o sentido do campo é o mesmo do momento dipolo elétrico (que aponta da carga negativa para a positiva). Como o momento dipolar elétrico está apontando no sentido positivo do eixo x , o campo elétrico para esse dipolo é dado por

E = 1 2 π ε 0 q d z - d 2 3

Passo 3

Agora vamos calcular o campo elétrico para o dipolo mais longe do ponto P .

Pra esse dipolo, a distância entre o centro do dipolo até o ponto P é z + d 2 .

Como momento dipolar elétrico está apontando no sentido negativo do eixo x , o campo elétrico para esse dipolo é dado por:

E = - 1 2 π ε 0 q d z + d 2 3

Passo 4

Por último, agora é só somar os dois e ver qual o campo elétrico resultante:

E = 1 2 π ε 0 q d z - d 2 3 - 1 2 π ε 0 q d z + d 2 3

Tá beleza! Tudo o que fizermos aqui está certo! Então o problema em si acaba aqui... agora é só aquela parte chata de arrumar a equação até ficar igual ao que queremos.

Então agora é na base da disposição!

Vamos começar colocando o que os dois tiverem em comum em evidência, podemos?

E = q d 2 π ε 0 1 z - d 2 3 - 1 z + d 2 3

Bora colocar aquele z do denominador em evidência mas, pra fazer isso, quando tirarmos ele dos parênteses, vamos ter que elevar ele ao cubo.

E = q d 2 π ε 0 z 3 1 1 - d 2 z 3 - 1 1 + d 2 z 3

E = q d 2 π ε 0 z 3 1 - d 2 z - 3 - 1 + d 2 z - 3

Agora é o momento em que você precisa ter fé!

Então fica esperto pro que vamos fazer aqui porque é o único jeito de chegar na fórmula que precisamos...

O que vamos fazer aqui é aplicar a Série de Taylor... vou colocar isso em um próximo passo pra fazer um apelo dramático.

Passo 5

O que é a Série de Taylor? Onde vive? Como se alimenta?

Essas e outras perguntas, responderemos aqui!

A Série de Taylor é uma expansão de uma determinada função em torno de um certo ponto. Beleza, mas como assim?

Então, como, de acordo com o enunciado z ≫ d , você concorda que d vai girar em torno de zero, se compararmos com z ?

É esse o intuito da Série de Taylor, analisar uma função quando ela estiver próximo de um determinado ponto.

A expansão em Série de Taylor de uma determinada função f x em torno do ponto x = a é dada por:

f x = f a + f ' a 1 ! x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + . . .

Beleza?!

Usando a Série de Taylor nas funções 1 - d 2 z - 3 e 1 + d 2 z - 3 em torno de d 2 z = 0 , teremos o seguinte:

E = q d 2 π ε 0 z 3 1 + 3 d 2 z + … - 1 - 3 d 2 z + …

Agora é só arrumar essa bagaça! ;)

E = q d 2 π ε 0 z 3 2 × 3 d 2 z

E = 3 × 2 q d 2 4 π ε 0 z 4

Onde a 2 q d 2 = Q , logo:

E = 3 Q 4 π ε 0 z 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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