Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Reta

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Enunciado

Considere a reta r = { 1 + t ,   1 - t ,   2 t ∈ R 3 | t ∈ R } e o ponto Q = ( 1 ,   0 ,   2 ) .

(c) Determine a distância entre a reta r   e o   ponto Q .

Passo 1

Queremos achar o módulo de P Q → sendo P um ponto de r escolhido de forma que o vetor P Q → seja ortogonal a reta dada.

Podemos dizer que P = 1 + t ,   1 - t ,   2 t e fazer:

P Q → = Q - P = 1,0 , 2 - 1 + t , 1 - t , 2 t

P Q → = ( - t , t - 1,2 - 2 t )

Passo 2

Tá bom, mas e agora, ainda não conseguimos achar o módulo, pois ele ficará em função de t .

A gente pode usar o fato do vetor diretor da nossa reta   r → = ( 1 , - 1,2 ) ter que ser ortogonal ao vetor P Q → , logo:

P Q → ⋅ r → = 0

- t , t - 1,2 - 2 t ⋅ 1 , - 1,2 = 0 ⟹ - t - t + 1 + 4 - 4 t = 0

6 t = 5 ⟹ t = 5 6

Substituindo:

P Q → = t , t - 1,2 - 2 t = - 5 6 , - 1 6 , 1 3

Passo 3

Agora é só calcular o módulo minha gente:

P Q → = - 5 6 2 + - 1 6 2 + 1 3 2 = 25 36 + 1 36 + 4 36 = 30 36 = 30 6

Resposta

30 6

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