Exercícios Resolvidos de Distribuição de Tamanho

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Enunciado

Mostre o passo a passo da linearização dos seguintes modelos:

  1. RRB
  2. Sigmóide
  3. Weibull (assuma que o parâmetro a é conhecido)

Passo 1

Eu não esqueci que essa matéria é operações unitárias não, tá? Mas coloquei essa questão de mostrar o passo a passo da linearização por que, provavelmente, na prova você não vai ter os modelos linearizados e sim as equações pra y no formulário. Daí, pra achar os parâmetros dos modelos você vai ter que desenvolver a linearização ali na hora (a menos que tenha decorado as formas linearizadas né haha mas eu prefiro fazer na hora).

Bora reunir aqui as equações desses três modelos e depois partimos pra linearizar um por um.

R R B :     y = 1 - exp ⁡ - d k m

S i g m ó i d e :   y = 1 1 + d k m

W e i b u l l :   y = 1 - exp ⁡ - d - a k m

Antes de começarmos, deixa eu te falar uma coisa: quando formos fazendo operações pra deixar linear, temos que fazer um caminho “reversível”. O que eu quero dizer com isso é que você tem que transformar uma coisa em outra que seja possível de ser “retransformada”. Tipo assim, se tem lá um a = b , você pode aplicar l n dos dois lados:

a = b

ln ⁡ a = ln ⁡ b

Isso porque se você aplica exponencial ( e x p ) dos dois lados, volta ao inicial:

exp ⁡ ln ⁡ a = exp ⁡ ( ln ⁡ b )

a = b

Agora, se o aparecer 1 , você NÃOOO pode aplicar l n , porque ln ⁡ 1 = 0 e aí esse termo desaparece.

Bora ver essas linearizações que você vai entender melhor tudo isso, ok?

Passo 2

  1. RRB
  2. A equação de y em função de d para o modelo RRB é:

    y = 1 - exp ⁡ - d k m

    Não podemos aplicar l n direto porque iria aparecer um ln ⁡ 1 . Daí bora jogar a exponencial para a esquerda e o y para a direita:

    1 - y = exp ⁡ - d k m

    Vou reescrever essa exponencial com aquela notação com e só pra facilitar a visualização; mas é a mesma coisa; não vou mudar nada:

    1 - y = e - d k m

    E isso é a mesma coisa que:

    1 - y = 1 e d k m

    Rearranjando:

    1 1 - y = e d k m

    Agora sim podemos aplicar l n dos dois lados:

    ln ⁡ 1 1 - y = d k m

    Mas ainda tem um expoente ali...ainda não tá linear. Mas se aplicar outra vez l n dos dois lados fica. Daí:

    ln ⁡ ln ⁡ 1 1 - y = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k

    Pronto. Um já foi.

    Passo 3

  3. Sigmóide
  4. A equação de y em função de d para o modelo Sigmóide é:

    y = 1 1 + d k m

    De novo, não podemos aplicar l n aqui porque iria aparecer um ln ⁡ 1 . Bora fazer outra coisa então. Vamos inverter os dois lados:

    1 y = 1 + k d m

    Passando esse 1 pra esquerda:

    1 y - 1 = k d m

    E agora aplicamos l n dos dois lados:

    ln ⁡ 1 y - 1 = - m * ln ⁡ d + m * ln ⁡ k

    Passo 4

  5. Weibull (assuma que o parâmetro a é conhecido)

Lembrando que ele fala que o parâmetro a é conhecido porque uma reta tem 2 parâmetros ( A e B ) e o modelo Weibull tem 3, a ,   m e k , daí, não daria pra linearizar. Mas se o a é conhecido, sobram 2 parâmetros a se conhecer e aí conseguimos linearizar.

O Weibull é muito parecido com o RRB e a linearização segue a mesma linha, mas substituindo onde tem d por d - a .

A equação de y em função de d para o modelo Weibull é:

y = 1 - exp ⁡ - d - a k m

Não podemos aplicar l n direto porque iria aparecer um ln ⁡ 1 . Daí bora jogar a exponencial para a esquerda e o y para a direita:

1 - y = exp ⁡ - d - a k m

Vou reescrever essa exponencial com aquela notação com e só pra facilitar a visualização; mas é a mesma coisa; não vou mudar nada:

1 - y = e - d - a k m

E isso é a mesma coisa que:

1 - y = 1 e d - a k m

Rearranjando:

1 1 - y = e d - a k m

Agora sim podemos aplicar l n dos dois lados:

ln ⁡ 1 1 - y = d - a k m

Mas ainda tem um expoente ali...ainda não tá linear. Mas se aplicar outra vez l n dos dois lados fica. Daí:

ln ⁡ ln ⁡ 1 1 - y = m * ln ⁡ ( d - a ) - m * ln ⁡ k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)