Exercícios Resolvidos de Elementos de Lógica e Linguagem Matemática

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Enunciado

Dê exemplos ou contraexemplos, se existirem, para as seguintes afirmações:

a   P a r a   t o d o   x ∈ R ,   x + 3 > 4

b   P a r a   t o d o   y ∈ N ,   y 3 > 1

Passo 1

Olá, meu anjo! Você lembra o que são os exemplos ou contraexemplos?

Exemplo é aquele cara que obedeça ao que nossa proposição diz!

Contraexemplo é justamente aquele que não obedece, que faz com que nossa proposição seja falsa! Olha o primeiro item:

a   P a r a   t o d o   x ∈ R ,   x + 3 > 4

Então, um exemplo para verificar nossa expressão é qualquer número REAL que obedeça a aquilo. Pode ser o número 2 , por exemplo, ou 3 , ou qualquer um acima de 1 .

Agora pensando num contraexemplo: o número 0 contradiz aquela inequação pois 0 + 3 < 4

A gente poderia simplesmente manipular aquela inequação, dessa forma:

x + 3 > 4

x > 1

Então aquilo só é verdade para números maiores que 1 . E é falso para números menores ou iguais a 1 .

E x e m p l o s : 2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6

C o n t r a e x e m p l o s : 1 ,   0 ,   - 1 ,   - 2 ,   - 3

Tem inúmeros outros, mas selecionei alguns.

Passo 2

Agora dá uma olhada nessa aqui:

b   P a r a   t o d o   y ∈ N ,   y 3 > 1

Nesse item, precisamos ver quais números naturais obedecem a inequação:

y = 0 → y 3 = 0 → 0 < 1

Opa, já começamos achando aquele que não obedece! Ou seja, encontramos um contraexemplo.

y = 1 → y 3 = 1 → 1 = 1

Encontramos mais um contraexemplo!

y = 2 → y 3 = 8 → 8 > 1

Aeeee, a partir de agora todos os números irão satisfazer! Então:

E x e m p l o s : 2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6

C o n t r a e x e m p l o s : 0 ,   1

Resposta

a   E x e m p l o : 2   ,     C o n t r a e x e m p l o : 1

b   E x e m p l o : 3 ,     C o n t r a e x e m p l o : 0

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Faça o gráfico da função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas. y = | x ² - 2 x | ²