Exercícios Resolvidos de Elementos de Lógica e Linguagem Matemática

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Enunciado

Para as seguintes proposições, escreva a negação, em português e simbólica, de cada uma delas:

a   E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

b   E x i s t e   u m   n ú m e r o   n a t u r a l   n   t a l   q u e   n 2   é   d i v i s í v e l   p o r   10

c   P a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   x   e x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   y   t a l   q u e   x + y = 0

d   P a r a   t o d o   ϵ ,   e x i s t e   u m   δ ϵ   t a l   q u e   s e   0 < x - a < δ   e n t ã o   f x - f l < ϵ

Passo 1

Bom, é como eu sempre digo, vamos começar do começo!

a   E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

Essa coisa de negação é meio chata né? Vamos começar passando para a linguagem simbólica, pois eu acho mais fácil de negar quando temos símbolos matemáticos, mas faça do jeito que você preferir!

Passando essa proposição para forma simbólica:

∃ x ∈ R   |   x 2 = 3

A negação será:

¬ ( ∃ x ∈ R   |   x 2 = 3 )

Na negação envolvendo os quantificadores e , o nosso amado “ | ” (tal que) se torna uma vígula.

Agora você imagina (só imagina, porque não é bem isso rs) que tem uma distributiva ali que vai jogar a negação para antes do “tal que” e para depois dele, assim:

¬ ∃ x ∈ R ,   ¬ ( x 2 = 3 )

Bom, para negar o “existe” é só colocar o “para todo”

∀ x ∈ R   ,   ¬ ( x 2 = 3 )

E negar uma igualdade, é só colocar uma desigualdade!

∀ x ∈ R   ,   x 2 ≠ 3

Em português:

P a r a   t o d o   n ú m e r o   r e a l   x ,   x 2 ≠ 3

Percebe que isso soa meio esquisito né? Nessas horas, precisamos ter senso, anjo! Faz muito mais sentido:

P a r a   t o d o   n ú m e r o   r e a l   x   t e m o s   q u e   x 2 ≠ 3

Passo 2

Próxima:

b   E x i s t e   u m   n ú m e r o   n a t u r a l   n   t a l   q u e   n 2   é   d i v i s í v e l   p o r   10

Novamente, passando pra linguagem simbólica:

∃ n ∈ N   |   n 2 = 10 k ,   k ∈ N

Agora vamos negar tudo isso, lembrando que a negação do é , o “ | ” vira uma vírgula e a vírgula vira um “ | ”:

¬ ( ∃ n ∈ N   |   n 2 = 10 k ,   k ∈ N )

¬ ∃ n ∈ N , ¬ ( n 2 = 10 k ,   k ∈ N )

∀ n ∈ N   ,   n 2 ≠ 10 k   |   k ∈ N

Em português:

P a r a   t o d o   n ú m e r o   n a t u r a l   n ,   n 2   n ã o   é   d i v i s í v e l   p o r   10

Perceba que novamente é meio estranho. Utilizando o bom senso, escreveríamos:

P a r a   t o d o   n ú m e r o   n a t u r a l   n   t e m o s   q u e   n 2   n ã o   é   d i v i s í v e l   p o r   10

Passo 3

Se liga nessa belezura agora:

c   P a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   x ,   e x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   y   t a l   q u e   x + y = 0

Novamente, passando isso para a forma simbólica:

∀ x ∈ R ,   ∃ y ∈ R   |   x + y = 0

Vamos negar essa coisa toda agora! Lembrando que a negação de “existe” é “para todo” e a negação de “para todo” é “existe”, o tal que vira uma vírgula e a vírgula vira um tal que:

¬ ( ∀ x ∈ R ,   ∃ y ∈ R   |   x + y = 0 )

¬ ∀ x ∈ R ,   ∃ y ∈ R , ¬ ( x + y = 0 )

∃ x ∈ R   |   ∀ y ∈ R   ,   x + y ≠ 0

Em português:

E x i s t e   n ú m e r o   r e a l   x   t a l   q u e   p a r a   t o d o   n ú m e r o   r e a l   y ,   x + y ≠ 0

Ou:

E x i s t e   n ú m e r o   r e a l   x   t a l   q u e   p a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   y   t e m o s   q u e   x + y ≠ 0

Passo 4

Último item, porém, não menos importante:

d   P a r a   t o d o   ϵ ,   e x i s t e   u m   δ ϵ   t a l   q u e   s e   0 < x - a < δ   e n t ã o   f x - f l < ϵ

Vamos passar isso para a forma simbólica:

∀ ϵ , ∃ δ ϵ   |   0 < x - a < δ ⇒     f x - f l < ϵ

Agora vamos negar tudo isso, lembrando que a negação de é e a negação de é , o tal que vira uma vírgula e a vírgula vira um tal que:

¬ ( ∀ ϵ , ∃ δ ϵ   |   0 < x - a < δ ⇒     f x - f l < ϵ )

Vamos fingir que tem uma distributiva:

¬ ∀ ϵ , ∃ δ ϵ ,   ¬ ( 0 < x - a < δ ⇒     f x - f l < ϵ )

Agora revolveremos em partes:

¬ ∀ ϵ , ∃ δ ϵ

∃ ϵ   |   ∀ δ ϵ

Por último:

¬ 0 < x - a < δ ⇒     f x - f l < ϵ

Opaaaaa! Temos uma negação de uma implicação! Você lembra como é a negação disso? Olha só:

¬ p ⇒   q = p ∧ ¬ q

Então no nosso caso:

0 < x - a < δ ∧ f x - f l ≥ ϵ

Juntando tudo:

∃ ϵ   |   ∀ δ ϵ ,   0 < x - a < δ ∧ f x - f l ≥ ϵ

Em português:

E x i s t e   ϵ   t a l   q u e   p a r a   t o d o   δ ϵ ,   0 < x - a < δ ∧ f x - f l ≥ ϵ

Resposta

a   ∀ x ∈ R   |   x 2 ≠ 3 ,     P a r a   t o d o   n ú m e r o   r e a l   x   t e m o   q u e   x 2 ≠ 3

b   ∀ n ∈ N   |   n 2 ≠ 10 k ,   k ∈ N ,     P a r a   t o d o   n ú m e r o   n a t u r a l   n   t e m o s   q u e   n 2   n ã o   é   d i v i s í v e l   p o r   10

c   ∃ x ∈ R ,   ∀ y ∈ R   |   x + y ≠ 0 ,     E x i s t e   n ú m e r o   r e a l   x   t a l   q u e   p a r a   t o d o   n ú m e r o   r e a l   y ,   x + y ≠ 0

d   ∃ ϵ ,   ∀ δ ϵ   |   0 < x - a < δ ∧ f x - f l > ϵ ,     E x i s t e   ϵ   t a l   q u e   p a r a   t o d o   δ ϵ ,   0 < x - a < δ ∧ f x - f l ≥ ϵ

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Faça o gráfico da função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas. y = | x ² - 2 x | ²