A figura abaixo mostra dois ioiôs de mesmo tamanho (raios iguais) e mesma massa, que podem descer rolando por uma corda que os prende ao teto. As cordas são inextensíveis e não deslizam.

Cada ioiô é composto dos mesmos dois materiais, um mais denso que o outro (ou seja, com uma massa maior por unidade de volume).

No ioiô A o material mais denso forma a metade interna da área do disco. No ioiô B ele forma a metade externa da área do disco.

Os dois ioiôs são largados a partir do repouso.

Após eles descerem rolando uma mesma altura h , o que podemos afirmar sobre as energias cinéticas, K A e K B , as velocidades dos centros de massa, v A e v B , e as velocidades angulares ω A e ω B dos ioiôs A e B respectivamente?

  1. K A > K B ; v A > v B ; ω A > ω B
  2. K A > K B ; v A = v B ; ω A > ω B
  3. K A = K B ; v A = v B ; ω A > ω B
  4. K A = K B ; v A = v B ; ω A < ω B
  5. K A = K B ; v A > v B ; ω A > ω B
  6. K A < K B ; v A < v B ; ω A < ω B
  7. K A < K B ; v A < v B ; ω A = ω B
  8. K A < K B ; v A > v B ; ω A = ω B

Passo 1

Nós temos, nos ioiôs, um problema de rolamento sem deslizamento. A condição para isso é que:

v C M = R ω

Onde R é o raio do ioiô, v C M é a velocidade do centro de massa e ω é a velocidade angular.

Agora precisamos achar a velocidade do centro de massa. Para isso, nós usamos o princípio da conservação de energia.

No nosso caso, toda a energia potencial gravitacional é transformada em energia cinética de rotação e energia cinética de translação (do centro de massa).

Vamos definir um sistema de coordenadas de forma que y = 0 corresponde ao instante inicial, e que o sentido do eixo é para cima (oposto ao sentido de movimento dos ioiôs). Isso nos dá:

U g r a v ,   i = 0

U g r a v ,   f = - M g h

Enquanto a energia cinética total inicial também é zero, e no final ela é:

K f = I C M ω 2 2 + M v C M 2 2

Com a condição de não deslizamento, temos:

K f = I C M v C M 2 2 R 2 + M v C M 2 2 = v C M 2 ∙ I C M 2 R 2 + M 2

Juntando tudo na conservação da energia:

0 = - M g h + v C M 2 ∙ I C M 2 R 2 + M 2

v C M 2 ∙ I C M 2 R 2 + M 2 = M g h

v C M = M g h I C M 2 R 2 + M 2

Uma primeira observação nesse passo. A variação da energia potencial gravitacional, nos dois casos, é igual, porque ela só depende da massa dos ioiôs e da distância percorrida. Pela conservação da energia:

Δ U + Δ K = 0

Então, a variação da energia cinética Δ K para ambos é igual. Eles partem do repouso, o que significa que Δ K = K f , e por isso a energia cinética de ambos os ioiôs vai ser a mesma.

K A = K B

Passo 2

Agora vamos analisar a equação que encontramos para a velocidade do centro de massa.

v C M = M g h I C M 2 R 2 + M 2

Nela, temos a massa do ioiô M , a altura percorrida h , a aceleração da gravidade g e até o raio do ioiô R . Mas tudo isso é igual nos dois!

A única possível diferença é no momento de inércia. Ele é calculado assim.

I = ∫ r 2 d m

Vamos tentar fazer um argumento qualitativo aqui.

A integral nada mais é do que a soma de pedacinhos muuuuito pequenos. Por isso, podemos voltar um passo e pensar na integral como um somatório.

I ≈ ∑ i r 2 Δ m i

Nota que quando mais pesado e mais longe o pedacinho, mais ele pesa no momento de inércia. Isso significa que o ioiô B tem um momento de inércia maior, pois os pedacinhos mais longe do seu centro de massa também são os mais pesados.

No ioiô A , os pedacinhos pesados acabam contribuindo menos, porque estão muito próximos do centro de massa, no meio do ioiô.

I B > I A

Mas a velocidade do centro de massa é inversamente proporcional ao momento de inércia I C M . Como I B é maior, v B vai ter que ser menor.

v A > v B

Como fica a velocidade angular? Bem, dessa desigualdade e da condição de não deslizamento:

R ω A > R ω B

ω A > ω B

Já temos todas as comparações que queremos!

A resposta correspondente a elas vai ser a letra (e).

e )     K A = K B ;       v A > v B ;     ω A > ω B

Resposta

Letra (e)

e )     K A = K B ; v A > v B ; ω A > ω B

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