Uma roldana maciça e homogênea tem seu eixo central fixo e pode ser solicitada a girar por cordas presas tanto a seu raio interno R 1 = 10   c m , quanto a seu raio externo R 2 = 30   c m . A roldana sustenta por seu raio interno um corpo de massa m = 2,0   k g , e está atrelada, por seu raio externo, a uma mola de constante elástica k = 20   N / m . O sistema está inicialmente em repouso com a mola destendida de x 0 = 90   c m .

c ) O sistema é liberado e num determinado instante a distensão da mola vale de x = 30   c m . Calcule a variação da altura h do corpo desde que o sistema foi liberado até este instante, respondendo se o corpo subiu ou desceu.

  d ) Calcule a velocidade angular ω da roldanano instante considerado no item c . Considere que a variação de altura h do corpo é de 20   c m , que o momento de inércia da roldana vale 0,18   k g .   m 2 e g = 10   m / s 2

Passo 1

c )

Considerando que o corpo parte do repouso, onde a mola está distendida de x 0 = 90   c m , para uma situação onde a mola apresenta uma distensão de x = 30   c m , sabemos que a roldana girou no sentido horário. Ou seja, o corpo subiu, então vamos calcular quanto!

Passo 2

Agora, vamos descobrir quantos radianos a roldana girou para que a mola encolhesse x = 90 - 30 = 60   c m :

Δ S = Δ θ . R

Usando os valores informado, temos:

0,6 = Δ θ . 0,3

Δ θ = 2   r a d

Como a roldana é uma peça rígida, o raio interno também girou 2   r a d no sentido horário, vamos agora descobrir quanto o corpo subiu!

Δ S = Δ θ . R

h = 2 .   0,1

h = 0,2   m

h = 20   c m

Passo 3

d )

Para determinar a velocidade angular da roldana, devemos recorrer à Lei da Conservação da Energia Mecânica:

E m e c a n t e s = E m e c d e p o i s

k . x 0 2 2 = k . x 2 2 + m . g . h + m v 2 2 + I . ω 2 2

No início, temos apenas energia potencial elástica, pois estou considerando que o bloco está na origem do potencial gravitacional.

No fim, temos energia pontencial elástica, energia potencial gravitacional do bloco, que subiu, além de ter a energia cinética do bloco, que possui velocidade para cima, assim como energia cinética de rotação da roldana, que está girando!

Como o bloco está atrelado ao raio interno, podemos dizer que v = ω . R 1 !

Passo 4

k . x 0 2 2 = k . x 2 2 + m . g . h + m ( ω . R 1 2 ) 2 2 + I . ω 2 2

Substituindo os valores, temos:

20   . 0,9 2 2 = 20 . 0,6 2 2 + 2,0 .   10 .   0,2 + 2,0 ( ω . 0,1 ) 2 2 + 0,18 . ω 2 2

Isolando a velocidade angular, temos:

ω 2 = 5

ω ≈ 2,23   r a d / s

Resposta

c )   h = 20   c m

d ) ω ≈ 2,23   r a d / s

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