Exercícios Resolvidos de Energia Cinética Relativística

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Enunciado

O LHC (Large Hadron Colider) acelera partículas subatômicas a velocidades próximas à da luz para o estudo de colisões relativísticas e produção de matérias através da equivalência massa energia.

Considere duas partículas, inicialmente com massas de repouso iguais a m 0 = 2 × 10 - 27   k g , e se movendo com velocidades de módulos iguais em relação ao laboratório, u = 99 c / 101 , e em sentidos opostos, em rota de colisão, como mostra a figura abaixo.

Durante a colisão, as partículas são destruídas e duas novas partículas idênticas, com uma nova massa de repouso M 0 são geradas se afastando uma da outra, com velocidade de módulos iguais medidas no laboratório, v = 6 c / 10 , como mostra a figura abaixo.

Quando for o caso, deixe a sua resposta em função da velocidade da luz c .

  1. Sabendo que o diâmetro próprio das partículas originais é de L 0 = 2,02 × 10 - 27   m , calcule o valor da sua extensão longitudinal (na direção do movimento) medido no referencial de repouso do LHC.
  2. Calcule a massa relativística, em k g , e o módulo do momento de cada partícula antes da colisão. Calcule a energia relativística total do sistema.
  3. Calcule a massa de repouso M 0 das novas partículas emergentes, em k g , após a colisão.
  4. A soma das energias cinéticas das partículas antes da colisão é igual à soma das energias cinéticas das partículas depois da colisão? Mostre.

Passo 1

Letra (a): Sabendo que o diâmetro próprio das partículas originais é de L 0 = 2,02 × 10 - 27   m , calcule o valor da sua extensão longitudinal (na direção do movimento) medido no referencial de repouso do LHC.

Trata-se de um problema de Contração dos comprimentos, cuja equação é dada por:

l = l 0 1 - u 2 c 2

Onde l 0 é o “comprimento próprio”, no caso, medido no referencial das partículas originais, e u é a velocidade relativa entre os dois referenciais (o da partícula e o do laboratório).

Passo 2

L = L 0 1 - u 2 c 2

Onde:

L 0 = 2,02 × 10 - 27   m ;

u = 99 c / 101 = 0,98 c ;

Logo:

L = 2,02 × 10 - 27 1 - 0,98 c 2 c 2

L = 4 × 10 - 28   m

Passo 3

Letra (b): Calcule a massa relativística, em k g , e o módulo do momento de cada partícula antes da colisão. Calcule a energia relativística total do sistema.

A massa relativística é dada por:

m r = m 0 1 - v 2 / c 2

Onde m 0 é a massa em repouso que, no caso, é dada por m 0 = 2 × 10 - 27   k g . E v é a velocidade da partícula, que vale 99 c / 101 . Portanto:

m r = 2 × 10 - 27 1 - 99 c / 101 2 c 2 = 2 × 10 - 27 1 - 0,98 2

m r = 1,01 × 10 - 26   k g

Passo 4

O momento linear relativístico é dado por:

p → = m r v →

Antes da colisão, a velocidade de cada partícula é u = 99 c / 101 . Logo:

p = 1,01 × 10 - 26 × 99 c 101

p = 0,99 c × 10 - 26   k g   m / s

Passo 5

A energia total de cada partícula é:

E = m r c 2

Onde m r = 1,01 × 10 - 26   k g . Logo, a energia de cada partícula é:

E = 1,01 c 2 × 10 - 26   J

A energia do sistema será a soma das energias de cada partícula, logo:

E t o t a l = 2 E = 2,02 c 2 × 10 - 26   J

Passo 6

Letra (c): Calcule a massa de repouso M 0 das novas partículas emergentes, em k g , após a colisão.

Usando o princípio da conservação de energia, a energia total do sistema antes da colisão deve ser igual à energia total do sistema após a colisão.

E t o t a l = E t o t a l '

Novamente, as duas partículas possuem a mesma massa em repouso M 0 e a mesma velocidade v = 6 c / 10 = 0,6 c . Portanto:

E ' t o t a l = 2 E ' = 2 M r c 2 = 2 M 0 c 2 1 - v 2 c 2

Onde:

E t o t a l ' = E t o t a l = 2,02 c 2 × 10 - 26   J ;

v = 0,6 c ;

Logo:

2,02 c 2 × 10 - 26 = 2 M 0 c 2 1 - 0,6 c 2 c 2

2,02 × 10 - 26 = 2 M 0 1 - 0,36 = 2 M 0 0,64 = 2 M 0 0,8

M 0 = 2,02 × 0,8 × 10 - 26 2

M 0 = 8,08 × 10 - 27   k g

Passo 7

Letra (d): A soma das energias cinéticas das partículas antes da colisão é igual à soma das energias cinéticas das partículas depois da colisão? Mostre.

A energia cinética da partícula é dada por:

K = m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2 = γ - 1 m c 2

Onde:

γ = 1 1 - v 2 / c 2

Antes da colisão, u = 99 c / 101 . Assim:

γ a = 1 1 - 99 c / 101 2 c 2 = 5,05

E m = m 0 = 2 × 10 - 27   k g . Portanto:

K a = γ a - 1 m 0 c 2

K a = 5,05 - 1 × 2 × 10 - 27 × c 2  

K a = 8,1 c 2 × 10 - 27   J

Como as duas partículas possuem a mesma energia cinética, a soma das energias cinéticas antes da colisão será:

K a t o t a l = 2 K a = 1,62 c 2 × 10 - 26   J

Após a colisão, v = 0,6 c . Assim:

γ d = 1 1 - 0,6 c 2 c 2 = 1,25

E m = M 0 = 8,08 × 10 - 27   k g . Portanto:

K d = γ d - 1 M 0 c 2

K d = 1,25 - 1 × 8,08 × 10 - 27 × c 2

K d = 2,02 c 2 × 10 - 27   J

Como as duas partículas possuem a mesma energia cinética, a soma das energias cinéticas antes da colisão será:

K d t o t a l = 2 K d = 4,04 c 2 × 10 - 27   J

Logo, as energias cinéticas antes de depois da colisão são diferentes.

Resposta

Letra (a):

L = 4 × 10 - 28   m

Letra (b):

m r = 1,01 × 10 - 26   k g

p = 0,99 c × 10 - 26   k g   m / s

E t o t a l = 2,02 c 2 × 10 - 26   J

Letra (c):

M 0 = 8,08 × 10 - 27   k g

Letra (d):

K a t o t a l = 1,62 c 2 × 10 - 26   J

K d t o t a l = 4,04 c 2 × 10 - 27   J

Logo, as energias cinéticas antes de depois da colisão são diferentes.

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