Um pêndulo simples é constituído de uma massa de m = 1 kg suspensa por um fio de comprimento L com massa desprezível.

(a) [1,0] Escreva as equações de movimento para um ângulo de desvio θ   em relação à posição de equilíbrio, justificando sua resposta. Supondo que o pêndulo execute pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio:

(b) [1,0] Determine o comprimento para que o período de oscilação seja de π s.

(c) [1,0] Mostre que a energia total do pêndulo é constante.

Passo 1

a) Dá uma olhada nessa imagem aqui:

Ela tá mostrando o diagrama de corpo livre desse cara, e todas as forças que tão atuando nele. Essa força peso m g → vai se decompor em uma parte paralela à tensão no fio (radial) e em uma parte paralela ao movimento (tangencial). Então vai ficar assim:

Repara ali que eu adotei dois eixos: x, paralelo ao movimento, com sentido positivo pra esquerda; y, paralelo ao fio, com sentido positivo pra baixo.

Aplicando a segunda lei de Newton aí nesse carinha, na direção radial (eixo y) vai ficar:

m a y = m g cos ⁡ θ - T

E na direção tangencial:

m a x = - m g sin ⁡ θ

Eu coloquei os sinais das forças de acordo com os eixos que eu adotei! Na prática, isso não faz diferença. Você só tem que ser consistente na distribuição das forças e na aplicação da segunda lei.

Passo 2

As equações que nós temos para os dois eixos são:

m a y = m g cos ⁡ θ - T

m a x = - m g sin ⁡ θ

No eixo y não tem movimento (a bolinha não se move paralela ao fio). Então a aceleração vai ser zero!

m a y = m g cos ⁡ θ - T = 0

m g cos ⁡ θ = T

Show! O único eixo que vai ter movimento será o x. Vamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição. Então:

m d 2 x ( t ) d t 2 = - m g sin ⁡ θ

m x ¨ + m g sin ⁡ θ = 0

x ¨ + g sin ⁡ θ = 0

Opa! Esse é um problema que não conseguimos resolver né? Porque temos duas variáveis dependentes do tempo, x e θ . Mas calma, não criemos pânico! Tem duas coisas que você precisa saber que vão te ajudar a resolver isso.

Passo 3

Primeiro: para pequenas inclinações, que é o que estamos considerando, sin ⁡ θ = θ ! Então:

x ¨ + g θ = 0

Segundo: nós podemos escrever x em função de θ . Vai ficar assim:

x L = sin ⁡ θ

x = L sin ⁡ θ

Lembrando que sin ⁡ θ = θ , então:

x = L θ

θ = x L

Vamos substituir!

x ¨ + g x L = 0

Olha que maravilha, achamos a EDO do movimento do cara, só com x! Vamos comparar com a equação do MHS:

x ¨ + g x L = 0

x ¨ + ω 0 2 x = 0

Comparando as duas teremos que ω 0 2 = g L . Ou seja, ω 0 = g L .

Agora só precisamos substituir no período! Temos a fórmula:

T = 2 π ω 0

Então:

T = 2 π L g

E ele tá dizendo que o período vai ser igual a π !

π = 2 π L g

1 4 = L g

L = g 4

Passo 4

Esse negócio de energia é muito chato, que Thor nos ajude! Vem comigo, foco!

Nós vamos calcular a energia cinética e a energia potencial, depois somar e provar que essa soma é constante.

Para a enérgica cinética:

K = m v 2 2

Lembrando aí que a velocidade é a primeira derivada da posição:

K = m 2 d   x ( t ) d t 2

Maravilha! Para a energia potencial:

U = - ∫ F → . d x →

“Valha-me Deus que coisa horrorosa, não sei calcular essa integral!” Calma, não é tão difícil quanto parece. Essa força F → que aparece aí é a nossa única força resultante (no eixo x, lembra que no eixo y as forças se anulam?). Então vamos trocar:

U = - ∫ - m g sin ⁡ θ . d x →

E lembrando:

x = L sin ⁡ θ

sin ⁡ θ = x L

Então:

U = ∫ m g x L . d x →

U = m g x 2 2 L

Tá vendo, eu disse que não era tão difícil.

Passo 5

Agora vamos somar as energias:

E = m 2 d   x ( t ) d t 2 + m g x 2 2 L  

Ok, agora nós precisamos achar x! Lembrando que x é solução da EDO:

x ¨ + ω 0 2 x = 0

E aí precisamos relembrar, lá do cálculo, que a solução dessa EDO é:

x t = x 0 cos ⁡ ( ω 0 t + φ )

Esse x 0 é a amplitude do movimento.

Se a gente derivar isso, encontramos:

d   x ( t ) d t = - x 0 ω 0 sin ⁡ ω 0 t + φ

Agora vamos substituir isso tudo na fórmula da energia:

E = m 2 [ - x 0 ω 0 sin ⁡ ω 0 t + φ ] 2 + m g [ x 0 cos ⁡ ( ω 0 t + φ ) ] 2 2 L

E = m x 0 2 ω 0 2 sin 2 ⁡ ω 0 t + φ 2 + m g x 0 2 cos 2 ⁡ ( ω 0 t + φ ) 2 L

Lembrando aí que:

ω 0 2 = g L

E substituindo:

E = m g x 0 2 sin 2 ⁡ ω 0 t + φ 2 L + m g x 0 2 cos 2 ⁡ ( ω 0 t + φ ) 2 L

E = m g x 0 2 2 L [ sin 2 ⁡ ω 0 t + φ + cos 2 ⁡ ( ω 0 t + φ ) ]

Coisa linda de se ver! Pela identidade trigonométrica, podemos trocar esse sin 2 ⁡ ω 0 t + φ + cos 2 ⁡ ( ω 0 t + φ ) por 1!

E = m g x 0 2 2 L

Como todos esses caras são constantes, a energia é constante.

Resposta

a)

m a y = m g cos ⁡ θ - T

m a x = - m g sin ⁡ θ

b)

L = g 4

Exercícios de Livros Relacionados

Um furo de raio R / 4 é perfurado através de um cilindro de raio R para formar um corpo de massa m como mostrado. Se o corpo rola sobre a superfície horizontal sem deslizar, determine o período τ para
Um bloco de massa M = 5,4k g , em repouso em uma mesa horizontal sem atrito, está ligado a um suporte rígido através de uma mola de constante elástica k = 6000N / m . Uma bala de massa m = 9,5g e velo
Uma partícula de 10g executa um MHS com uma amplitude de 2,0m m , uma aceleração máxima de módulo 8,0.10 3 m / s 2 e uma constante de fase desconhecida φ . Qual é (a) o período do movimento, (b) a vel
Uma mola de massa desprezível está pendurada no teto com um pequeno objeto preso à extremidade inferior. O objeto é inicialmente mantido em repouso em uma posição y , tal que a mola se encontra no est
Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco preso a uma mola com k = 200N / m . O bloco desliza em uma superfície sem atrito, com o ponto de equilíbrio em x = 0 e uma amplitude de 0,20m . O