14. Esboce à mão o gráfico de f e use seu esboço para encontrar os valores máximos e mínimos locais e absolutos de f (nos domínios indicados).

d) f x = 2 - x 2 ,     s e - 1 ≤ x < 1 2 x 2 - x ,     s e   1 ≤ x ≤ 3

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema estamos interessados em esboçar a curva f x dentro de um intervalo D f e determinar os pontos de máximos e de mínimos da função.

Como vamos fazer isso? 🤔

Para obter o gráfico da função, podemos obter alguns pontos da função e estimar o comportamento dela dentro dos intervalos dos pontos.

Já para obter os pontos de máximo e mínimo, vamos calcular a derivada de f e igualar a 0 , assim, os pontos que satisfazerem a igualdade serão os pontos extremos. Mas caso eles não estejam no intervalo do domínio verificamos como f ' se comporta.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Vamos determinar a imagem de f em x = - 1 , x = 0 , x = 1 , x = 2 e em x = 3 .

Para x = - 1

f - 1 = 2 - - 1 2 = 1

Para x = 0

f 0 = 2 - 0 2 = 2

Para x = 1

f 1 = 2 1 2 - 1 = 1

Para x = 2

f 2 = 2 2 2 - 2 = 6

E para x = 3

f 3 = 2 3 2 - 3 = 1 5

Plotando esses pontos no plano cartesiano e estimando o comportamento de f entre eles, temos algo mais ou menos como

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Para reforçar isso que acabamos de obter, vamos calcular a derivada de f

Pelo método de derivação polinomial, temos

f ' x = 2 0 - 2 x 2 - 1 ,     s e - 1 ≤ x < 1 2 2 x 2 - 1 - x 1 - 1 ,     s e   1 ≤ x ≤ 3

f ' x = - 2 x ,     s e - 1 ≤ x < 1 4 x - 1 ,     s e   1 ≤ x ≤ 3

Igualando a 0 ...

- 2 x = 0 → x = 0 4 x - 1 = 0 → x = 1 4

No segundo, como x está fora do domínio daquela parte de f , então vamos desconsiderar

Portanto, f tem um único ponto crítico e está em x = 0 .

Substituindo em f x

f 0 = 2

Então, na primeira parte de f , 2 - x 2 ,     s e - 1 ≤ x < 1 , x = 0 é um ponto de máximo

E as extremidades - 1 e 1 são os pontos de mínimos já que f ' x é linear nesse espaço.

Já se analisarmos a segunda parte de f , 2 x 2 - x ,     s e   1 ≤ x ≤ 3 , vemos que a derivada é linear e cresce durante todo o domínio. Logo, o ponto mínimo está na extremidade x = 1 e o ponto máximo em x = 3 .

Comparando os valores das imagens que calculamos, vemos que x = 3 é o ponto de máximo e x = - 1 e x = 1 são os pontos de mínimo.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

x = 3 é o ponto de máximo.

x = - 1 e x = 1 são os pontos de mínimo.

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Esboce a curva polar. r = s e n4 θ
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = senh ⁡ t y = cosh ⁡ t
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = d tem a equação polar r = e d 1 + e sen ⁡ θ
Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = - d tem a equação polar r = e d 1 - e sen ⁡ θ
r = 9 6 + 2 cos ⁡ θ (a) Encontre a excentricidade,(b) identifique a cônica,(c) dê uma equação da diretriz e(d) esboce a cônica