Exercícios Resolvidos de Fatoração LU

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Enunciado

Calcule a fatoração L U de A , se possível:

A = 1 1 1 2 1 - 1 3 2 0

Passo 1

Para obtermos a fatoração L U precisamos aplicar a eliminação de Gauss e guardar os multiplicadores. Por enquanto temos que:

L = 1 0 0 m 21 1 0 m 31 m 32 1

U = * * * 0 * * 0 0 *

Passo 2

Aplicando a Eliminação de Gauss:

1 1 1 2 1 - 1 3 2 0

L 2 ← L 2 - 2 L 1 m 21 = 2 :

1 1 1 0 - 1 - 3 3 2 0

L 3 ← L 3 - 3 L 1 m 31 = 3 :

1 1 1 0 - 1 - 3 0 - 1 - 3

L 3 ← L 3 - L 2 m 32 = 1 :

1 1 1 0 - 1 - 3 0 0 0

Passo 3

Ou seja, temos que:

L = 1 0 0 2 1 0 3 1 1 ; U = 1 1 1 0 - 1 - 3 0 0 0

Resposta

L = 1 0 0 2 1 0 3 1 1 ; U = 1 1 1 0 - 1 - 3 0 0 0

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Se A = L D U , como fica a resolução de A x = b ?
Mostre que, se A é matriz não singular e A = L U , então A = L D U → , onde D é matriz diagonal U → matriz triangular superior com diagonal unitária.
Mostre que se A é uma matriz simétrica e satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A = L D U implica U = L t (transposta de L ).
Mostre que se A é uma matriz simétrica, positiva definida e satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A = L D L t onde os elementos diagonais de D são todos positivos.