Exercícios Resolvidos de Fatoração LU

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Enunciado

Resolva os seguintes sistemas usando a fatoração L U .

a x 1 - x 2     = 2 2 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = - 1 - x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 4

b 1 3 x 1 + 1 2 x 2 - 1 4 x 3 = 1 1 3 x 1 + 2 3 x 2 + 3 8 x 3 = 2 2 5 x 1 - 2 3 x 2 + 5 8 x 3 = - 3

c 2 x 1 + x 2         = 0 - x 1 + 3 x 2 + 3 x 3     = 5 2 x 1 - 2 x 2 + x 3 + 4 x 4 = - 2 - 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 5 x 4 = 6

Passo 1

a Passando para a forma matricial:

1 - 1 0 2 2 3 - 1 3 2 x 1 x 2 x 3 = 2 - 1 4

E temos que:

L = 1 0 0 m 21 1 0 m 31 m 32 1

U = * * * 0 * * 0 0 *

Passo 2

Aplicando a Eliminação de Gauss:

1 - 1 0 2 2 3 - 1 3 2

L 2 ← L 2 - 2 L 1 m 21 = 2 :

1 - 1 0 0 4 3 - 1 3 2

L 3 ← L 3 - - 1 L 1 m 31 = - 1 :

1 - 1 0 0 4 3 0 2 2

L 3 ← L 3 - 1 2 L 2 m 32 = 1 2 :

1 - 1 0 0 4 3 0 0 0.5

Passo 3

Ou seja, temos que:

L = 1 0 0 2 1 0 - 1 0.5 1 ; U = 1 - 1 0 0 4 3 0 0 0.5

Ficamos então com:

1 0 0 2 1 0 - 1 0.5 1 1 - 1 0 0 4 3 0 0 0.5 x 1 x 2 x 3 = 2 - 1 4

Passo 4

Resolvendo o sistema L y = b :

1 0 0 2 1 0 - 1 0.5 1 y 1 y 2 y 3 = 2 - 1 4

y 1 = 2

4 + y 2 = - 1

y 2 = - 5

- 2 - 2.5 + y 3 = 4

y 3 = 8.5

Resolvendo U x = y :

1 - 1 0 0 4 3 0 0 0.5 x 1 x 2 x 3 = 2 - 5 8.5

x 3 = 17

4 x 2 + 51 = - 5

x 2 = - 14

x 1 + 14 = 2

x 1 = - 12

Então a solução do sistema é x 1 , x 2 , x 3 = - 12 , - 14,17 .

Passo 5

b Passando para a forma matricial:

1 3 1 2 - 1 4 1 3 2 3 3 8 2 5 - 2 3 5 8 x 1 x 2 x 3 = 1 2 - 3

E temos que:

L = 1 0 0 m 21 1 0 m 31 m 32 1

U = * * * 0 * * 0 0 *

Passo 6

Aplicando a Eliminação de Gauss:

1 3 1 2 - 1 4 1 3 2 3 3 8 2 5 - 2 3 5 8

L 2 ← L 2 - L 1 m 21 = 1 :

1 3 1 2 - 1 4 0 1 6 5 8 2 5 - 2 3 5 8

L 3 ← L 3 - 1.2 L 1 m 31 = 1.2 :

0.333 0.5 - 0.25 0 0.167 0.625 0 - 1.267 0.925

L 3 ← L 3 - - 7.6 L 2 m 32 = - 7.6 :

0.333 0.5 - 0.25 0 0.167 0.625 0 0 5.675

Passo 7

Ou seja, temos que:

L = 1 0 0 1 1 0 1.2 - 7.6 1 ; U = 0.333 0.5 - 0.25 0 0.167 0.625 0 0 5.675

Ficamos então com:

1 0 0 1 1 0 1.2 - 7.6 1 0.333 0.5 - 0.25 0 0.167 0.625 0 0 5.675 x 1 x 2 x 3 = 1 2 - 3

Passo 8

Resolvendo o sistema L y = b :

1 0 0 1 1 0 1.2 - 7.6 1 y 1 y 2 y 3 = 1 2 - 3

y 1 = 1

1 + y 2 = 2

y 2 = 1

1.2 - 7.6 + y 3 = - 3

y 3 = 3.4

Resolvendo U x = y :

0.333 0.5 - 0.25 0 0.167 0.625 0 0 5.675 x 1 x 2 x 3 = 1 1 3.4

x 3 = 0.599

0.167 x 2 + 0.373249 = 1

x 2 = 3.753

0.333 x 1 + 1.8765 - 0.14975 = 1

x 1 = - 2.181

Então a solução do sistema é x 1 , x 2 , x 3 = - 2.181,3.753,0.599 .

Passo 9

c Passando para a forma matricial:

2 1 0 0 - 1 3 3 0 2 - 2 1 4 - 2 2 2 5 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 5 - 2 6

E temos que:

L = 1 0 0 0 m 21 1 0 0 m 31 m 32 1 0 m 41 m 42 m 43 1

U = * * * * 0 * * * 0 0 * * 0 0 0 *

Passo 10

Aplicando a Eliminação de Gauss:

2 1 0 0 - 1 3 3 0 2 - 2 1 4 - 2 2 2 5

L 2 ← L 2 - - 0.5 L 1 m 21 = - 0.5 :

2 1 0 0 0 3.5 3 0 2 - 2 1 4 - 2 2 2 5

L 3 ← L 3 - L 1 m 31 = 1 :

2 1 0 0 0 3.5 3 0 0 - 3 1 4 - 2 2 2 5

L 4 ← L 4 - - 1 L 1 m 41 = - 1 :

2 1 0 0 0 3.5 3 0 0 - 3 1 4 0 3 2 5

L 3 ← L 3 - - 0.857 L 2 m 32 = - 4 3 :

2 1 0 0 0 3.5 3 0 0 0 3.571 4 0 3 2 5

L 4 ← L 4 - 0.857 L 2 m 42 = 0.857 :

2 1 0 0 0 3.5 3 0 0 0 3.571 4 0 0 - 0.571 5

L 4 ← L 4 - - 0.16 L 3 m 43 = - 0.16 :

2 1 0 0 0 3.5 3 0 0 0 3.571 4 0 0 0 5.64

Passo 11

Ou seja, temos que:

L = 1 0 0 0 - 0.5 1 0 0 1 - 0.857 1 0 - 1 0.857 - 0.16 1 ; U = 2 1 0 0 0 3.5 3 0 0 0 3.571 4 0 0 0 5.64

Ficamos então com:

1 0 0 0 - 0.5 1 0 0 1 - 0.857 1 0 - 1 0.857 - 0.16 1 2 1 0 0 0 3.5 3 0 0 0 3.571 4 0 0 0 5.64 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 5 - 2 6

Passo 12

Resolvendo o sistema L y = b :

1 0 0 0 - 0.5 1 0 0 1 - 0.857 1 0 - 1 0.857 - 0.16 1 y 1 y 2 y 3 y 4 = 0 5 - 2 6

y 1 = 0

y 2 = 5

- 4.286 + y 3 = - 2

y 3 = 2.286

4.286 - 0.366 + y 4 = 6

y 4 = 2.08

Resolvendo U x = y :

2 1 0 0 0 3.5 3 0 0 0 3.571 4 0 0 0 5.64 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 5 2.286 2.08

x 4 = 0.369

3.571 x 3 + 1.476 = 2.286

x 3 = 0.227

3.5 x 2 + 0.681 = 5

x 2 = 1.234

2 x 1 + 1.234 = 0

x 1 = - 0.617

Então a solução do sistema é x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = - 0.617,1.234,0.227,0.369 .

Resposta

a x 1 , x 2 , x 3 = - 12 , - 14,17

b x 1 , x 2 , x 3 = - 2.181,3.753,0.599

c   x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = - 0.617,1.234,0.227,0.369

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O vetor p que armazena a informação sobre as permutações realzadas durante a fatoração LU pode ser construído como p k = i , se na etapa k a linha i da matriz A ( k - 1 ) for escolhida como a linha pi
Se A = L D U , como fica a resolução de A x = b ?
Mostre que, se A é matriz não singular e A = L U , então A = L D U → , onde D é matriz diagonal U → matriz triangular superior com diagonal unitária.
Mostre que se A é uma matriz simétrica e satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A = L D U implica U = L t (transposta de L ).
Mostre que se A é uma matriz simétrica, positiva definida e satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A = L D L t onde os elementos diagonais de D são todos positivos.