Enunciado

A altura que pode ser atingida por um foguete de aeromodelismo, lançado da superfície da Terra, pode ser estimada supondo-se que o tempo de queima total do combustível é curto, em comparação com o tempo total de vôo; o foguete está, portanto, em queda livre, durante quase todo o vôo. (Esta estimativa não leva em consideração o tempo de queima nos cálculos de tempo e de deslocamento) Para um foguete-modelo com impulso específico I = 100 s , razão de massas m 0 m f = 1,20 e razão impulso-peso inicial τ 0 = 5,00 (estes parâmetros estão deficinidos no problemas 96 e 97), estime (a) a altura que o foguete pode atingir e (b) o tempo total de vôo. (c) Justificque a suposição feita para as estimativas, comparando o tempo de vôo da parte (a) com o tempo levado para consumir o combustível.

Passo 1

Do problema 96, vamos usar a velocidade do momento em que termina a queima para achar v f , e as equações da aceleração constante para obter uma aproximação da altura que o foguete vai chegar, além do tempo de vôo.

Passo 2

  1. Vamos considerar que a aceleração é constante. Daí vamos poder relacionar a altura máxima com o tempo de subida do foguete.
  2. h = g t s 2 2

    Da questão 96, nós temos:

    v f = g I ln ⁡ m 0 m f - 1 τ 0 1 - m f m 0

    v f = 9.81 × 100 × l n 1,2 - 1 5 1 - 1 1,2

    v f = 146 m s

    Considerando que o tempo total de vôo é muito maior que o tempo de queima do combustível:

    t s u b i d a = v f g = 146 m s 9.81 m s 2 = 14.9 s

    Substituindo na primeira equação (da altura):

    h = 9.81 × 14.9 2 2 = 1.09 k m

    Passo 3

  3. Como a subida e a descida são simétricas (iguais), o tempo de descida é igual ao de subida. Assim, o tempo total é igual a:
  4. t = 2 t s u b i d a = 2 × 14.9 s

    t = 29.8 s

    Passo 4

  5. O tempo de queima do combustível é:

t q u e i m a = I τ 1 - m f m 0 = 100 5 1 - 1 1,2

t q u e i m a = 3,33 s

Lembra que a gente tinha considerado que o tempo de queima era muito menor que o tempo total de vôo? Pois é, ele não é tão menor assim, é só um pouco mais que 10%. Logo, a nossa suposição não estava certa.

Resposta

  1. h = 1.09 k m
  2. t = 29.8 s
  3. t q u e i m a = 3.33 s
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