Uma caixa contém N moléculas de um gás. A caixa é dividida em três partes iguais.

( a ) Por extensão da Eq. 20.20 , escreva uma fórmula para a multiplicidade de qualquer configuração dada.

( b ) Considere duas configurações: a configuração A , com números iguais de moléculas nas três divisões da caixa, e a configuração B , com números iguais de moléculas em cada lado da caixa dividida em duas partes iguais em vez de em três. Qual é a razão W A / W B entre a multiplicidade da configuração A e a confoguração B ?

c Calcule W A / W B para N = 100 . (Como 100 não é divisível por 3 , ponha 34 moléculas em uma das três partes da configuração A e 33 moléculas nas duas outras partes).

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos treinar um pouco de mecânica estatística? Bora lá?

A equação 20.20 que o enunciado fala é a equação que fornece o número de multiplicidade de estados possíveis W para uma certa configuração de dois níveis de energia n 1 e n 2 :

W = N ! n 1 ! n 2 !

Caso tenhamos mais um nível, ou como nesse caso, se dividirmos a caixa em três partes, vamos ter de adicionar mais um número n no denominador.

Daí a fórmula para a multiplicidade vai ser:

W = N ! n 1 ! n 2 ! n 3 !

Beleza até aqui?

Passo 2

  • Para a configuração A , a multiplicidade W A terá três divisões, então vamos ter n 1 , n 2   e   n 3 . E como cada parte da caixa vai receber o mesmo número de moléculas, então em cada parte vai ter N / 3 moléculas.
  • Daí é só aplicar isso na fórmula que achamos no passo anterior:

    W = N ! n 1 ! n 2 ! n 3 !

    W A = N ! N / 3 !   N / 3   ! N / 3 !

  • Para a configuração B , a multiplicidade W B terá DUAS divisões, então vamos ter n 1   e   n 2 . E como cada parte da caixa vai receber o mesmo número de moléculas, então em cada parte vai ter N / 2 moléculas.

Daí é só aplicar de novo isso na fórmula que achamos no passo 1 , mas agora só com n 1 e   n 2 :

W = N ! n 1 ! n 2 !

W B = N ! N / 2 !   N / 2 !

Daí ficou tranquilo determinar a razão W A / W B . Vamos dividir uma expressão pela outra:

W A W B = N ! N / 3 !   N / 3   ! N / 3 !   ÷ N ! N / 2 !   N / 2 !

Ficou grande né? Mas calma! Podemos simplificar um pouquinho.

O número total de partículas N é igual para as duas confogurações, então N ! pode ser cancelado. Também podemos juntar e ficar com uma fração só, fazendo a rega de divisãod e frações : “conserva a primeira e multiplica pelo inverso da segunda”.

Daí chegamos a:

W A W B = N / 2 !   N / 2 ! N / 3 !   N / 3   ! N / 3 !

Passo 3

Agora queremos W para N = 100 . Então vamos substituir na fórmula que foi resultado da letra ( b ) :

W A W B = 50 !   50 ! 33 ! 33   ! 34 !

W A W B = 4,15.10 16

Fechou? Show!

Vamos pra próxima? =)

Resposta

( a ) N ! n 1 ! n 2 ! n 3 !

( b ) N / 2 !   N / 2 ! N / 3 !   N / 3   ! N / 3 !

( c ) 4,15.10 16

( d ) 1,0089134.10 29

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