Enunciado

Os campos elétricos recebidos em um ponto P de duas fontes coerentes e idênticas são dados por E 1 ( t ) = E c o s ( ω t + c ) e E 2 ( t ) = E c o s ( ω t ) . a) Aplique uma das identidades trigonométricas do Apêndice B para mostrar que a onda resultante é dada por E p ( t ) = 2 E c o s ( ϕ / 2 ) c o s ( ω t + ϕ / 2 ) . b) Mostre que a amplitude da onda resultante é dada pela Equação (35.7). c) Use o resultado do item (a) para mostrar que em um máximo de interferência a amplitude da onda resultante está em fase com as ondas originais E 1 ( t ) e E 2 ( t ) . d) Tome como base o resultado do item (a) para mostrar que nas vizinhanças de um mínimo de interferência a onda resultante está defasada de um quarto de ciclo de qualquer uma das ondas originais. e) Mostre que o vetor de Poynting instantâneo em um ponto P tem módulo s = 4 ϵ 0 c E 2 c o s 2 ( ϕ / 2 ) c o s 2 ( ω t + ϕ / 2 ) e que o valor médio do vetor de Poynting.

Passo 1

Usando a relação trigonométrica do apêndice B, temos que substituir os valores dessa relação com as letras do problema. Assim a relação trigonométrica será:

c o s ( ω t + ϕ / 2 ) = c o s ( ω t ) c o s ( ϕ / 2 ) - s i n ( ω t ) s i n ( ϕ / 2 )

Multiplicando o lado esquerdo e direito por 2 c o s ( ϕ / 2 ) , temos o seguinte resultado:

2 c o s ( ϕ / 2 ) c o s ( ω t + ϕ / 2 ) = 2 c o s ( ω t ) c o s 2 ( ϕ / 2 ) - 2 s i n ( ω t ) s i n ( ϕ / 2 ) c o s ( ϕ / 2 ) .

Usando-se da seguinte relação trigonométrica:

c o s 2 ( ϕ / 2 ) = 1 + c o s ( ϕ ) 2

e

s i n ( ϕ ) = 2 s i n ( ϕ / 2 ) c o s ( ϕ / 2 )

Substituindo essas expressões temos que:

c o s ( ω t ) + c o s ( ω t ) c o s ( ϕ ) - s i n ( ω t ) s i n ( ϕ ) = c o s ( ω t ) + c o s ( ω t + ϕ )

No qual este último foi usado novamente a identidade de arco duplo, para a soma de dois ângulos.

Passo 2

letra a)

O campo elétrico é a soma de dois campos e podem ser escritos como:

E p = E 2 ( t ) + E 1 ( t ) = E c o s ( ω t ) + E c o s ( ω t + ϕ )

Usando a identidade de arcos duplos, temos então que:

E p = 2 E c o s ( ϕ / 2 ) c o s ( ω t + ϕ / 2 )

Passo 3

letra b)

Temos que o campo é dado por:

E p = A c o s ( ω t + ϕ / 2 )

Então comparando com a parte dada pela letra (a), vemos que a amplitude da onda positiva é dada por:

A = 2 E c o s ( ϕ / 2 ) .

Passo 4

letra c)

Para ter uma máxima interferência, devemos lembrar que:

Para interferência máxima, ϕ / 2 = 2 π m . Então por exemplo, usando m = 1 , as fases relativas são:

E 2 : 0 ; E 1 : ϕ = 4 π ; E p : ϕ / 2 = 2 π , e todas as ondas estão em fase.

Passo 5

letra d)

Para ter uma interferência mínima, temos que ϕ / 2 = π m + 1 2 . Então por exemplo usando m = 0 , as fases relativas são:

E 2 : 0 ; E 1 : ϕ = π ; E p : ϕ / 2 = π / 2 , e a onda resultante está fora de fase por um quarto de ciclo de ambas as ondas originárias.

Passo 6

letra (e) A magnitude instantânea do vetor de Poynting é:

S : ϵ 0 c E p 2 ( t ) = ϵ 0 c 4 E 2 c o s 2 ϕ / 2 c o s 2 ω t + ϕ / 2

Para um tempo médio temos que:

c o s 2 ω t + ϕ / 2 = 1 2

Então:

S a v = 2 ϵ 0 c E 2 c o s 2 ( ϕ / 2 ) .

Resposta

letra a) E p = 2 E c o s ( ϕ / 2 ) c o s ( ω t + ϕ / 2 )

letra b) A = 2 E c o s ( ϕ / 2 ) .

letra c) Para interferência máxima, ϕ / 2 = 2 π m .

letra d) Para ter uma interferência mínima, temos que ϕ / 2 = π m + 1 2 .

letra (e) S a v = 2 ϵ 0 c E 2 c o s 2 ( ϕ / 2 )

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