Enunciado

Uma carga puntiforme de 5,0   μ C está localizada em x = 1,0   m , y = 3,0   m , e uma carga puntiforme de - 4,0   μ C está localizada em x = 2,0   m , y = - 2,0 . (a) Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico em x = 23 , 0   m , y = 1,0   m . (b) Determine o módulo, a direção e o sentido da força em um próton colocado em x = - 3,0   m , y = 1,0   m .

Passo 1

Falaaaaii galerinha, show de bola??

Bora pra mais uma??

Só vamooooo!!

A expressão para o campo elétrico em um ponto p devido ao grupo de cargas puntiformes é a seguinte

E 1 = k q r 2 r ^

Onde, k é a constante, q é a carga de teste e r é o vetor posição

Passo 2

Vamos utilizar os dados fornecidas, e desenhar um diagrama, onde será usado para encontrar a magnitude e direção do campo elétrico.

  1. Vamos expressão vetor posição de carga q 1 em relação ao ponto P
  2. r 1 → = 23.0   m - 1.0   m i ^ + 1.0   m - 3.0   m j ^

    r 1 → = 22.0   m i ^ + - 2.0   m j ^

    Da mesma forma, o vetor posição da carga q 2 em relação ao ponto P

    r 2 → = 23.0   m - 2.0   m i ^ + 1.0   m - ( - 2.0   m ) j ^

    r 2 → = 21.0   m i ^ + 3.0   m j ^

    Passo 3

    A expressão para o campo elétrico atuando no ponto P devido à carga q 1 é a seguinte:

    E 1 → = k q 1 r 1 2 r ^ 1

    Vamos substituir os valores numéricos

    22.0   m i ^ + - 2.0   m j ^ 22.0   m 2 + - 2.0   m 2   s u b s t i t u i r e m o s   p o r     r ^  

    E 1 → = ( 8.99 × 10 9 N m 2 / C 2 ) ( 5.0 × 10 - 6 C ) 22.0   m 2 + - 2.0   m 2 22.0   m i ^ + - 2.0   m j ^ 22.0   m 2 + - 2.0   m 2

    E 1 → = ( 91.7   N / C ) i ^ - ( 8.34   N / C ) j ^

    Passo 4

    O campo elétrico que atua no ponto P devido à carga q 2 é

    E 2 → = k q 2 r 2 2 r 2 ^

    Vamos substituir os valores numéricos

    21.0   m i ^ + 3.0   m j ^ 21.0   m 2 + 3.0   m 2   s u b s t i t u i r e m o s   p o r     r ^  

    E 2 → = ( 8.99 × 10 9 N m 2 / C 2 ) ( - 4.0 × 10 - 6 C ) 21.0   m 2 + 3.0   m 2 21.0   m i ^ + 3.0   m j ^ 21.0   m 2 + 3.0   m 2

    E 2 → = - 79.1   N / C i ^ + ( - 11.3   N / C ) j ^

    Passo 5

    Portanto, o campo elétrico resultante no ponto P devido às duas cargas q 1   e     q 2 é

    E → = E 1 → + E 2 →

    Vamos substituir os valores numéricos

    E → = ( 91.7   N / C ) i ^ - ( 8.34   N / C ) j ^ + - 79.1   N / C i ^ + ( - 11.3   N / C ) j ^

    E → = ( 12.6   N / C ) i ^ - ( 19.64   N / C ) j ^

    Passo 6

    A magnitude do campo elétrico resultante no ponto P é expressa como:

    E = E x 2 + E y 2

    Substituindo os valores numéricos

    E = ( 12.6   N / C ) 2 + ( - 19.64   N / C ) 2

    E = 1.9   k ⋅ N / C

    Portanto, a magnitude necessária do campo elétrico resultante é de 1.9   k ⋅ N / C .

    A direção do campo elétrico no ponto P é expressa da seguinte forma:

    θ = tan - 1 ⁡ E y E x

    Substituindo os valores numéricos

    θ = tan - 1 ⁡ - 19.64   N / C 12.6   N / C

    θ = 57 °

    θ = 57 + 180

    θ = 237 °

    A direção do campo elétrico no ponto P é 237 ° .

    Passo 7

    Vamos utilizar os dados fornecidas, e desenhar um diagrama, onde será usado para encontrar a magnitude e direção do campo elétrico.

    Passo 8

  3. Vamos expressão vetor posição de carga q 1 em relação ao ponto P

r 1 → = - 3.0   m - 1.0   m i ^ + 1.0   m - 3.0   m j ^

r 1 → = - 4.0   m i ^ + - 2.0   m j ^

Da mesma forma, o vetor posição da carga q 2 em relação ao ponto P

r 2 → = - 3.0   m - 2.0   m i ^ + 1.0   m - ( - 2.0   m ) j ^

r 2 → = - 5.0   m i ^ + 3.0   m j ^

Passo 3

A expressão para o campo elétrico atuando no ponto P devido à carga q 1 é a seguinte:

E 1 → = k q 1 r 1 2 r ^ 1

Vamos substituir os valores numéricos

- 4.0   m i ^ + - 2.0   m j ^ - 4.0   m 2 + - 2.0   m 2   s u b s t i t u i r e m o s   p o r     r ^  

E 1 → = ( 8.99 × 10 9 N m 2 / C 2 ) ( 5.0 × 10 - 6 C ) - 4.0   m 2 + - 2.0   m 2 - 4.0   m i ^ + - 2.0   m j ^ - 4.0   m 2 + - 2.0   m 2

E 1 → = ( - 2010.225   N / C ) i ^ - ( 1005.113   N / C ) j ^

Passo 4

O campo elétrico que atua no ponto P devido à carga q 2 é

E 2 → = k q 2 r 2 2 r 2 ^

Vamos substituir os valores numéricos

- 5.0   m i ^ + 3.0   m j ^ - 5.0   m 2 + 3.0   m 2   s u b s t i t u i r e m o s   p o r     r ^  

E 2 → = ( 8.99 × 10 9 N m 2 / C 2 ) ( - 4.0 × 10 - 6 C ) - 5.0   m 2 + 3.0   m 2 - 5.0   m i ^ + 3.0   m j ^ - 5.0   m 2 + 3.0   m 2

E 2 → = 906.9   N / C i ^ + ( - 544.2   N / C ) j ^

Passo 5

Portanto, o campo elétrico resultante no ponto P devido às duas cargas q 1   e     q 2 é

E → = E 1 → + E 2 →

Vamos substituir os valores numéricos

E → = ( - 2010.225   N / C ) i ^ - ( 1005.113   N / C ) j ^ + 906.9   N / C i ^ + ( - 544 . . 2   N / C ) j ^

E → = ( 1103.325   N / C ) i ^ - ( 1549.313   N / C ) j ^

Passo 6

A magnitude do campo elétrico resultante no ponto P é expressa como:

E = E x 2 + E y 2

Substituindo os valores numéricos

E = ( 1103.325   N / C ) 2 + ( - 1549.313   N / C ) 2

E = 1.9   k ⋅ N / C

Portanto, a magnitude necessária do campo elétrico resultante é de 1.9   k ⋅ N / C .

A direção do campo elétrico no ponto P é expressa da seguinte forma:

θ = tan - 1 ⁡ E y E x

Substituindo os valores numéricos

θ = tan - 1 ⁡ - 1549.313   N / C 1103.325   N / C

θ = 57 °

θ = 57 + 180

θ = 237 °

Passo 7

Portanto, a quantidade de força que atua sobre o próton é

F = E q

F = ( 1.9 × 10 3 N / C ) ( 1.6 × 10 - 19 C )

F = 3.0 × 10 - 16   N

Portanto, a magnitude necessária é de 3.0 × 10 - 16 N

E a direção do movimento do próton está em um ângulo de 237 ° .

Resposta

  1. Portanto, a magnitude necessária do campo elétrico resultante é de 1.9   k ⋅ N / C .

    A direção do campo elétrico no ponto P é 237 ° .

Portanto, a magnitude necessária é de 3.0 × 10 - 16 N

E a direção do movimento do próton está em um ângulo de 237 ° .

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