Enunciado

Para formar um pêndulo, uma bola de 0,092   k g é presa em uma das extremidades de uma haste de 0,62   m de comprimento e massa desprezível; a outra extremidade da haste é montada em um eixo. A haste é levantada até a bola ficar verticalmente acima do eixo e liberada a partir do repouso. Quando a bola atinge o ponto mais baixo, quais são (a) a velocidade da bola e (b) a tensão da haste? Em seguida, a haste é colocada na horizontal e liberada a partir do repouso. (c) Para que ângulo em relação à vertical a tensão da haste é igual ao peso da bola? (d) Se a massa da bola aumenta, a resposta do item (c) aumenta, diminui ou permanece a mesma?

Passo 1

a) No primeiro instante, temos a seguinte configuração

Em 1 , K 1 = 0 (bola em repouso) e tomando 2 como referência da energia potencial gravitacional.

U 1 = m g h = m g 2 L = 2 m g L

Em 2 , K 2 = 1 2 m v 2 e U 2 = 0 , logo, pela lei da conservação de energia

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

K 2 = U 1

1 2 m v 2 = 2 m g L

v 2 = 4 g L

v = 4 g L = 2 g L

Para g = 9,8 m s 2 e L = 0,62   m

v = 2 9,8.0,62

v = 4,9   m / s

Passo 2

b) No ponto mais baixo temos o diagrama de corpo livre mostrado na figura abaixo

A força centrípeta será

F c = m v 2 r

E sabendo que a resultante das forças atuantes no corpo ( F r ) será igual a força centrípeta, temos

T - P = m v 2 r → T = m v 2 L + m g

Para m = 0,092   k g

T = 0,092.4,9 2 0,62 + 0,092.9,8

T ≈ 4,5   N

Passo 3

c) No 2° momento teremos a seguinte configuração

Para o instante 2 temos

F r = F c

T - m g c o s θ = m v 2 L

Como queremos T = P = m g

m g - m g c o s θ = m v 2 L

g 1 - c o s θ = v 2 L

v 2 = g L ( 1 - c o s θ )

Aplicando a lei da conservação de energia nos pontos 1 e 2

U 1 = K 2 + U 2

m g L = 1 2 m v 2 + m g h

Com h = L - L c o s θ = L ( 1 - c o s θ )

m g L = 1 2 m g L ( 1 - c o s θ ) + m g L ( 1 - c o s θ )

1 = ( 1 2 + 1 ) ( 1 - c o s θ )

1 = 3 2 1 - c o s θ

1 - c o s θ = 2 3

c o s θ = 1 - 2 3 = 1 3

θ = atan ⁡ 1 3

θ ≈ 71 °  

Passo 4

d) Ao calcular o item anterior, nota-se que não há uma dependência com a massa, logo o ângulo permanece o mesmo.

Resposta

a)   v = 4,9   m / s

b) T ≈ 4,5   N

c) θ ≈ 71 °

d) permanece o mesmo.

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