Enunciado

61. O índice de refração de uma barra de vidro é 1,48 para uma temperatura T = 20 ° e varia linearmente com a temperatura, com um coeficiente de 2,50 ⋅ 10 - 5 / ° C . O coeficiente de dilatação linear do vidro é 5,0 ⋅ 10 - 6 / ° C . A 20 ° C , o comprimemo da barra é de 3,0   c m . Um dos braços do interferômetro de Michelson é formado por essa barra que está sendo aquecida com uma taxa igual a 5 , 0   ° C / m i n . A fonte de luz tem comprimento de onda λ = 589   n m , e a

temperatura inicial da barra é T = 20   ° C . Quantas franjas de interferência atravessam a linha de referência do campo visual a cada minuto?

Passo 1

Para resolver esse problema, galera, temos que considerar dois efeitos que contribuem nas franjas de interferência, um é a expansão da haste e o outro é a mudança no índice de refração da haste.

O enunciado diz que o índice de refração e o comprimento da barra variam linearmente com a temperatura, onde o índice de refração com m coeficiente de 2,50 ⋅ 10 - 5 / ° C e a temperatura com um coeficiente de 5,0 ⋅ 10 - 6 / ° C .

Com isso podemos formular as seguintes equações para a variação desses parâmetros em relação a temperatura, são elas:

Δ n = n 0 2,5 ⋅ 10 - 5 Δ T

Δ L = L 0 5 ⋅ 10 - 6 Δ T

Onde n 0 e L 0 é o índice de refração e o comprimento iniciais.

Essa quantidade de franjas que o enunciado pede pode ser interpretada como a quantidade de comprimentos de onda. Essa quantidade comprimentos de onda é dada pela seguinte equação:

N = 2 n L λ 0

Mas esse número varia devido a variação de n e varia pela variação de L , então teremos que calcular Δ N em relação a variação Δ n e em relação a variação Δ L .

Passo 2

Então vamos lá! Primeiro vamos encontrar Δ N 1 em relação a variação do comprimento Δ L .

Em relação a variação no comprimento temos que esse comprimento extra da haste substitui um pouco do ar, assim temos que a mudança no número de comprimentos de onda é dado por:

Δ N 1 = 2 n v i d r o Δ L λ 0 - 2 n a r Δ L λ 0

Onde n a r = 1 , assim:

Δ N 1 = 2 ( n v i d r o - 1 ) Δ L λ 0

Agora substituindo o Δ L pela expressão do passo 1 , temos:

Δ N 1 = 2 ( n v i d r o - 1 ) L 0 5 ⋅ 10 - 6 Δ T λ 0

Agora substituindo o que sabemos, lembrando que o Δ N 1 que queremos é em um minuto, temos:

Δ N 1 = 2 ( 1,48 - 1 ) ( 0,03 ) 5 ⋅ 10 - 6 ( 5 ) 589 ⋅ 10 - 9

= 0,72 ⋅ 10 - 6 589 ⋅ 10 - 9

Então temos que:

Δ N 1 = 1,22

Passo 3

Agora vamos encontrar Δ N 2 em relação a variação do índice de refração Δ n . Temos que:

Δ N 2 = 2 Δ n v i d r o L 0 λ 0

Agora substituindo o Δ n pela expressão do passo 1 , temos:

Δ N 2 = 2 L 0 n 0 2,5 ⋅ 10 - 5 Δ T λ 0

Agora substituindo o que sabemos, lembrando que o Δ N 2 que queremos é em um minuto, temos:

Δ N 2 = 2 ( 0,03 ) ( 1,48 ) 2 , 5 ⋅ 10 - 5 ( 5 ) 589 ⋅ 10 - 9

= 1,11 ⋅ 10 - 5 589 ⋅ 10 - 9

Então temos que:

Δ N 2 = 18,84

Agora que temos as duas variações, a variação total será a soma delas assim:

Δ N = Δ N 1 + Δ N 2

= 1,22 + 18,84

Então temos que:

Δ N ≈ 20

Resposta

Δ N ≈ 20

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