Enunciado

Um relógio de parede tem um ponteiro de minutos com um comprimento de 0,50   m e um ponteiro de horas com um comprimento de 0,25   m . Tome o centro do relógio como a origem, e usa um sistema de coordenadas cartesiano com o eixo x positivo apontando para o 3 e o eixo y positivo apontado para o 12 ; Usando os vetores unitários i ^ e j ^ , expresse os vetores posição das pontas dos ponteiros de horas ( A → ) e de minutos ( B → ) quando o relógio indica (a) 12 : 00 , (b) 3 : 00 , (c) 6 : 00 , d 9 : 00 .

Passo 1

Em um relógio nós temos pelo menos 12 pontos igualmente espaçados em torno de uma circunferência, isso quer dizer que o ângulo entre eles é:

θ = 360 ° 12 = 30 °

Isso quer dizer que, entre dois números do relógio, nós temos uma separação de 30 ° . Para seguir as convenções, vamos contar θ no sentido anti-horário a partir do eixo x .

Nesse caso, θ = 0 ° está sobre o 3 , θ = 30 ° está sobre o 2 , θ = 60 ° está sobre o 1 , e assim por diante.

Em termos dos vetores i ^ e j ^ , as posições das pontas dos ponteiros vão seguir uma fórmula simples:

A → = 0,25   m cos ⁡ θ   i ^ + sen ⁡ θ   j ^

E como todas os itens pedem horas “redondas”, o ponteiro dos minutos sempre estará sobre o 12 :

B → = 0,50   m   j ^

Passo 2

Só precisamos descobrir quais são os ângulos θ associados a cada número, seguindo a nossa lógica de antes fica fácil completar uma tabela:

E agora é só usar a nossa fórmula de antes:

(a) Para 12 : 00 :

A → = 0,25   m cos ⁡ 90 °   i ^ + sen ⁡ 90 °   j ^

A → = 0,25   m   j ^

(b) Para 3 : 00 :

A → = 0,25   m cos ⁡ 0 °   i ^ + sen ⁡ 0 °   j ^

A → = 0,25   m   i ^

(c) Para 6 : 00 :

A → = 0,25   m cos ⁡ 270 °   i ^ + sen ⁡ 270 °   j ^

A → = - 0,25   m   j ^

(d) Para 9 : 00 :

A → = 0,25   m cos ⁡ 180 °   i ^ + sen ⁡ 180 °   j ^

A → = - 0,25   m   i ^

Resposta

(a) A → = 0,25   m   j ^ . B → = 0,50   m   j ^ .

(b) A → = 0,25   m   i ^ . B → = 0,50   m   j ^ .

(c) A → = - 0,25   m   j ^ . B → = 0,50   m   j ^ .

(d) A → = - 0,25   m   i ^ . B → = 0,50   m   j ^ .

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