Exercícios Resolvidos de Funções Definidas Implicitamente

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Enunciado

Determine y e z como funções de x implícitas nas equações abaixo:

x + y + z = 1

2 x + z = 2

Passo 1

Equações que definem funções implicitamente são representadas na forma

F X , Y = 0

Queremos determinar y e z como funções de x , então

X = x

Y = ( y , z )

Passo 2

Primeiro vamos então jogar tudo para um lado só nessas equações:

x + y + z - 1 = 0

2 x + z - 2 = 0

Assim, temos

F X , Y = x + y + z - 1 ,   2 x + z - 2 = ( 0,0 )

F x , y , z = x + y + z - 1 ,   2 x + z - 2 = ( 0,0 )

Beleza? Só substitui!

Passo 3

Agora, se a gente olhar a segunda equação, vemos que dá pra isolar o e já acha-lo como uma função de x :

z = 2 - 2 x

E substituindo isso na primeira equação, podemos achar y em função de x :

x + y + 2 - 2 x = 1

y = 1 - 2 - x + 2 x

y = x - 1

Passo 4

Beleza, mas a gente não tem certeza se essas funções estão de fato definidas implicitamente naquelas equações, então, pra ter certeza, vamos substituí-las na expressão de F ( X , Y ) e vê se da zero:

F x , y , z = x + y + z - 1 ,   2 x + z - 2

F x , y , z = x + x - 1 + 2 - 2 x - 1,2 x + 2 - 2 x - 2 = ( 0,0 )

Otimo, deu certo, então

z = z x = 2 - 2 x

y = y x = x - 1

Resposta

z = z x = 2 - 2 x

y = y x = x - 1