Exercícios Resolvidos de Posição e Fase do MHS

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Enunciado

Duas partículas executam movimentos harmônicos simples de mesma amplitude (A) e mesmo período (T) ao longo de retas paralelas muito próximas. Existe uma diferença de fase de π / 4   r a d entre os movimentos. Considere que a partícula 2 está atrasada em relação à primeira e que a posição da primeira é descrita por

x 1 t = A   c o s 2 π T t

a) Escreva a posição da segunda partícula, x 2 ( t ) .

Faça (no caderno de respostas) o gráfico das posições x 1 e x 2 das partículas em função do tempo para o intervalo 0   ≤   t   ≤   T (indique, os zeros e os pontos de máximo e mínimo das

funções).

b) Determine a distância entre as partículas (em termos de A) quando a partícula mais atrasada passar pelo ponto de maior deslocamento.

c) Determine, em função de A, em que posições as partículas passam uma pela outra.

d) Determine, em função de A e T, as velocidades das partículas nessas posições do item (c).

Passo 1

a) Primeiro precisamos lembrar que equação geral que descreve movimentos harmônicos simples é

x t = A   c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

Onde A é a amplitude, ϕ é a constante de fase e ω é a frequência angular. Onde

ω = 2 π f = 2 π T

Para a partícula 1, temos que ϕ 1 = 0 , e para a partícula 2, ϕ 2 = ±   π / 4 .

Como a questão diz que a partícula 2 está ATRASADA em relação a 1, então concluímos que ϕ 2 = - π / 4 .

Podemos escrever que:

x 2 t = A cos ⁡ 2 π T - π 4

Passo 2

Precisamos esboçar os gráficos de x 1 e x 2 para 0 ≤ t ≤ T .

Primeiro para x 1 :

x 1 t = A cos ⁡ 2 π T t

Para t = 0 :

x 1 t = 0 = A cos ⁡ 0 = A

Os zeros da função ocorrem quando:

A cos ⁡ 2 π T t = 0

2 π T t = π 2     e   2 π T t = 3 π 2

t z e r o = T 4 ,   3 T 4

Os pontos de máximo ocorrem quando:

cos ⁡ 2 π T t = + 1

2 π T t = 0   e 2 π T t = 2 π

t m a x = 0 ,   T

Os pontos de mínimo,

cos ⁡ 2 π T t = - 1

2 π T t = π

t m i n = T 2

Passo 3

Para x 2 agora:

x 2 t = A cos ⁡ 2 π T t - π 4

Para t = 0 ,

x 2 t = 0 = A cos ⁡ - π 4 = 2 2 ≅ 0,707   A

Os zeros:

A cos ⁡ 2 π T t - π 4 = 0

2 π T t - π 4 = π 2   e   2 π T t - π 4 = 3 π 2

t z e r o = 3 T 8 , 7 T 4

Os máximos:

cos ⁡ 2 π T t - π 4 = + 1

2 π T t - π 4 = 0

t m a x = T 8

Os mínimos:

cos ⁡ 2 π T t - π 4 = - 1

2 π T t - π 4 = π

t m i n = 5 T 8

Juntando todas essas informações num gráfico ( x 1 : l i n h a   c o n t í n u a ,   x 2 : l i n h a   t r a c e j a d a ).

Passo 4

b) Quando a partícula 2 passar pelo ponto de maior deslocamento:

x 2 t = A

A cos ⁡ 2 π T t - π 4 = A

2 π T t - π 4 = 0

t = T 8

A distância entre as partículas será:

d = x 2 t = T 8 - x 1 t = T t

d = A cos ⁡ 2 π T T 8 - π 4 - A cos ⁡ 2 π T T 8

d = A cos ⁡ 0 - cos ⁡ π 4 = A 1 - 2 2

d ≅ 0,293 A

Passo 5

c) As posições em que as partículas passam uma pela outra. Se olhar no gráfico, as curvas se encontram em 2 pontos, um com deslocamento positivo e outro negativo.

x 1 t = x 2 t

A cos ⁡ 2 π T t = A cos ⁡ 2 π T t - π 4

Aqui, temos que levar em consideração que cos ⁡ - x = c o s ⁡ ( x ) . Então

2 π T t - π 4 = ± 2 π T t

Com o sinal de mais não encontraremos o resultado. Mas com o sinal de menos, chegaremos em:

t = T 16

Então a posição em que as partículas passarão uma pela outra será (basta substituir em 1 ou em 2):

x 1 T 16 = x 2 T 16 = A cos ⁡ 2 π T T 16

x 1 T 16 = A cos ⁡ π 8 = 0,924   A

O outro ponto em que as curvas se encontram será, por simetria:

x 1 = x 2 = - 0,924   A

Mas se você quiser calcular pra ter certeza, você pode chegar nesse resultado usando o fato de que cos ⁡ x = c o s ⁡ ( x + 2 π ) . Então, usando a mesma equação de antes, só que adicionando um termo + 2 π no lado direito:

2 π T t - π 4 = - 2 π T t + 2 π

4 π T t = 9 π 4

t = 9 T 16

x 1 9 T 16 = A cos ⁡ 2 π T 9 T 16 = A cos ⁡ 9 π 8 = - 0,924   A

Passo 6

d) Calcular as velocidades nos pontos do item (c): x 1 = x 2 = 0,924   A .

Basta lembrar que a velocidade é a derivada temporal da posição, então:

v 1 t = d d t x 1 t = d d t A c o s 2 π T t

v 1 t = - 2 π T A s e n   2 π T t

v 1 T 16 = - 2 π T A s e n 2 π T T 16

v 1 T 16 = - 2 π T A s e n π 8

v 1 T 16 = - 2,40 A T

Já para v 2 :

v 2 t = d d t x 2 t = d d t A c o s 2 π T t - π 4

v 2 t = - 2 π T A s e n 2 π T t - π 4

v 2 T 16 = - 2 π T A s e n π 8 - π 4

v 2 T 16 = 2,40 A T

No outro ponto de interseção, x 1 = x 2 = - 0,924   A , os módulos das velocidades vão ser iguais, mas seus sinais estarão opostos. Então,

v 1 9 T 16 = 2,40 A T

v 2 9 T 16 = - 2,40 A T

Resposta

a) x 2 t = A cos ⁡ 2 π T - π 4

b) 0,293   A

c) ± 0,924   A

d) v 1 ( T / 16 ) = - 2,40   A / T

v 2 ( T / 16 ) = 2,40   A / T

v 1 ( 9 T / 16 ) = 2,40   A / T

v 2 ( 9 T / 16 ) = - 2,40   A / T .

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