Exercícios Resolvidos de Introdução à Reta

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Enunciado

Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:

  1. x + 1 3 = z - 3 4 y = 1
  2. x = 2 y z = 3
  3. x = 2 t y = - 1 z = 2 - t

Passo 1

Agora o desafio é um pouco diferente haha!!! Vamos fazer uma revisão sobre todos os tipos de equações que podemos representar uma reta e ver se você entendeu direitinho o que é cada componente dessas equações.

Em cada um dos item o exercício nos dá a equação de uma reta e com essa equação devemos determinar um vetor diretor e um ponto da reta. Blz? Então, vamos nessa!!!

Passo 2

Letra a

Temos as seguintes equações:

x + 1 3 = z - 3 4 y = 1

A primeira expressão tem a forma da equação simétrica da reta. Mas, e a segunda expressão y = 1 está em qual formato? Bom, na verdade a segunda expressão só está desse jeito, porque o valor de b é zero, e só podemos escrever na forma simétrica quando os valores de a ,   b e   c são diferentes de ZERO. Então, é como se reescrevêssemos, da seguintes forma:

x + 1 3 = z - 3 4 = y - 1 0

Nós escrevemos assim só para ficar mais fácil de acharmos o vetor diretor ( a ,   b ,   c ) e o ponto ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) , mas essa expressão não existe, pois não faz sentido a divisão por ZERO, beleza?! ;)

Então, comparando as seguintes formas:

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c               e         x + 1 3 = z - 3 4 = y - 1 0

Temos, que:

x 1 ,   y 1 ,   z 1 = - 1 ,   1 ,   3     e   a ,   b ,   c = ( 3 ,   0 ,   4 )

Esse item terminamos!!

Passo 3

Letra b

Temos duas formas de resolver!!

Primeira maneira:

A primeira equação está no formato da equação reduzida. E, a segunda também. Detalhe, que nessas equações reduzidas x e z são escritos em função de y , as variáveis x ,   y   e z são as coordenadas de um ponto que pertence à reta, então temos que:

P = ( 2 y ,   y ,   3 )

Assim, se dermos valores para y , acharemos pontos pertencentes à reta:

y = 0 → A = 0 ,   0 ,   3

y = 1 → B = ( 2 ,   1 ,   3 )

Com esses dois pontos conseguimos determinar o vetor diretor que pode ser A B → ou B A → . Escolhendo A B → :

A B → = B - A = 2 ,   1 ,   3 - 0 ,   0 ,   3 = ( 2 ,   1 ,   0 )

Assim, já temos dois pontos pertencentes à reta dada pelas equações reduzidas e o vetor diretor:

A B → = ( 2 ,   1 ,   0 )

A = 0 ,   0 ,   3

B = ( 2 ,   1 ,   3 )

Segunda maneira:

Vamos começar da equação simétrica para então chegarmos na equação reduzida, onde devemos deixar x e z em função de y .

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

x - x 1 a = y - y 1 b       e         z - z 1 c =   y - y 1 b    

Isolando x , temos:

x = a b y - y 1 + x 1           ( 1 )

Isolando z , temos:

z = c b y - y 1 + z 1             ( 2 )

Comparando as expressões ( 1 ) e ( 2 ) com as equações dadas pelo enunciado, chegamos que:

a b = 2

- 2 y 1 + x 1 = 0

c b = 0 → c = 0

- c b y 1 + z 1 = 3 → z 1 = 3

Com a b = 2 , podemos dizer que a = 2 e b = 1 , pois o importante é respeitar a proporção. Da segunda expressão - 2 y 1 + x 1 = 0 , podemos escolher x 1 = 2 e y 1 = 1 , que satisaz também a expressão, poderíamos, escolher outros valores, desde que a expressão seja satisfeita, não tem problema.

Assim, temos tudo o que precisamos:

x 1 ,   y 1 ,   z 1 = 2 ,   1 ,   3     e   a ,   b ,   c = ( 2 ,   1 ,   0 )

Passo 4

Letra c

x = 2 t y = - 1 z = 2 - t

As equações dadas são as equações paramétricas da reta, vamos só escrevê-la de uma forma diferente:

x = 2 t y = - 1 z = 2 - t →   x = 0 + 2 t y = - 1 + 0 t z = 2 - 1 t

Comparando o formato geral, com o dado, temos:

x = x 1 + t a y = y 1 + t b z = z 1 + t c             e     x = 0 + 2 t y = - 1 + 0 t z = 2 - 1 t  

x 1 = 0 ,   y 1 = - 1 ,   z 1 = 2 ,   a = 2 ,   b = 0   e   c = - 1

Assim, temos tudo o que precisamos:

x 1 ,   y 1 ,   z 1 = 0 ,   - 1 ,   2     e   a ,   b ,   c = ( 2 ,   0 ,   - 1 )

Resposta

  1. x 1 ,   y 1 ,   z 1 = - 1 ,   1 ,   3     e   a ,   b ,   c = ( 3 ,   0 ,   4 )
  2. x 1 ,   y 1 ,   z 1 = 2 ,   1 ,   3     e   a ,   b ,   c = ( 2 ,   1 ,   0 )
  3. x 1 ,   y 1 ,   z 1 = 0 ,   - 1 ,   2     e   a ,   b ,   c = ( 2 ,   0 ,   - 1 )

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