Seja t ∈ - 1,1 . Mostre que

∑ k = 0 n t k = 1 - t n + 1 1 - t

Conclua que a sequência de termo geral

S n = ∑ k = 0 n t k

Converge e calcule o seu limite.

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e agora vamos fazer o que nos pedem. Primeiro vamos mostrar que ∑ k = 0 n t k = 1 - t n + 1 1 - t

Podemos mostrar essa igualdade usando a soma de uma série geométrica. A série que estamos interessados em é:

S n = ∑ k = 0 n t k  

Se você reparar essa série é igual à soma de uma série geométrica finita:

∑ k = 0 n r k

Seja ( r ) a razão comum da sequência, neste caso, ( r   =   t ) . A fórmula geral para a soma de uma série geométrica finita é:

∑ k = 0 n t k = 1 - r n + 1 1 - r

Substituindo ( r   =   t ) nesta fórmula, obtemos:

[ S n = 1 - t n + 1 1 - t ]

Esta é a fórmula desejada para a soma da série:

[ ∑ k = 0 n t k = 1 - t n + 1 1 - t ]

Portanto, mostramos que a soma da série ( ∑ k = 0 n t k ) é igual a ( 1 - t n + 1 1 - t ) para qualquer ( t ) pertencente ao intervalo aberto (-1, 1).

Passo 2

Para concluir que a sequência de termo geral ( S n = ∑ k = 0 n t k ) converge e calcular seu limite, usaremos a fórmula que obtivemos anteriormente:

[ S n = 1 - t n + 1 1 - t ]

Primeiro, vamos analisar a convergência da sequência. A sequência converge quando o limite quando ( n ) tende ao infinito existe e é finito. Para verificar isso, vamos calcular o limite de ( S n ) à medida que ( n ) tende ao infinito:

[ lim n → ∞ ⁡ S n = lim n → ∞ ⁡ 1 - t n + 1 1 - t ]

Agora, vamos considerar o comportamento de ( t ) e ( t n + 1 ) à medida que ( n ) tende ao infinito.

Como ( t < 1 ) , então à medida que ( n ) tende ao infinito, ( t n + 1 ) se aproxima de 0, pois ( t n ) se aproxima de 0 para qualquer ( t < 1 )

O limite é calculado como:

[ lim n → ∞ ⁡ S n = 1 1 - t ]

Assim, concluímos que a sequência ( S n ) converge se ( t < 1 ) e seu limite é dado por ( 1 1 - t ) .

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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