Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jordan

Enunciado

Considere o seguinte sistema linear

5 x + 5 y = 15 2 x + 4 y + z = 10 3 x + 4 y = 11

Utilizando o método de Gauss-Jordan, qual o sistema escalonado na forma reduzida?

  1. 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0
  2. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 1
  3. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1
  4. 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 0
  5. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0

Passo 1

Fala Aíí!!! Vamos utilizar o método de Gauss-Jordan para tentar encontrar a solução do problema.

Lembrando que no método de Gauss-Jordan queremos deixar a matriz aumentada “diagonalizada”, ou seja, somente com a coluna principal. Ficou confuso?! Seria algo desse formato aqui ó,

Repare que todos os elementos abaixo e acima da diagonal principal da matriz são nulos. Show de bola?!

Passo 2

O primeiro passo é representar esse sistema em forma de matriz:

Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:

5 5 0 2 4 1 3 4 0 x y z = 15 10 11

Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

5 5 0 2 4 1 3 4 0 15 10 11

Beleza?!

Passo 3

Fase 1 – Eliminação:

Vamos encontrar o pivô da primeira linha.

Não sabe o que significa o pivô???? Calmaaa!! Pivô nada mais é do que o primeiro elemento não nulo da linha. Ou seja, na primeira linha será o número 5:

5 5 0 2 4 1 3 4 0 15 10 11

Show de bola?! Agora vamos às continhas pra zerar os números embaixo desse pivô!

5 5 0 2 4 1 3 4 0 15 10 11

L 2 ← L 2 - 2 5 L 1 :

5 5 0 0 2 1 3 4 0 15 4 11

L 3 ← L 3 - 3 5 L 1 :

5 5 0 0 2 1 0 1 0 15 4 2

Agora vamos para o segundo pivô (primeiro elemento não nulo da segunda linha)

5 5 0 0 2 1 0 1 0 15 4 2

Para zerar o elemento abaixo dele, basta fazermos

L 3 ← L 3 - 1 2 L 2 :

5 5 0 0 2 1 0 0 - 1 / 2 15 4 0

Beleza?!

Passo 4

Agora pensa comigo... Queremos deixar a matriz na forma diagonalizada, certo?! Então a nossa diagonal principal deve ser composta por “ 1 ”. Então, vamos arrumar a diagonal da nossa matriz!

Primeiro vamos dividir a primeira linha da matriz por 5 , ou seja

L 1 ← L 1 5

Assim,

1 1 0 0 2 1 0 0 - 1 / 2 3 4 0

Vamos dividir também a segunda linha por 2 , já que queremos que nossa matriz na diagonal principal só tenha 1 !

L 2 ← L 2 2

Assim,

1 1 0 0 1 1 / 2 0 0 - 1 / 2 3 2 0

Da mesma forma, vamos dividir a terceira linha por - 1 2 , assim conseguimos deixar toda a diagonal principal composta por “ 1 ”.

L 3 ← L 3 - 1 / 2  

Ficamos com

1 1 0 0 1 1 / 2 0 0 1 3 2 0

Beleza?! Então já conseguimos zerar os elementos abaixo dos pivôs e deixamos a nossa diagonal direitinha! Terminamos aqui?! NÃÃÃO!!!

Passo 5

Já zeramos o elemento abaixo do pivô da primeira e da segunda linha! Agora precisamos zerar os elementos acima dos pivôs da segunda e da terceira linha!!

1 1 0 0 1 1 / 2 0 0 1 3 2 0

Vamos primeiro zerar os elementos acima do pivô da última linha! Para isso,

L 2 ← L 2 - 1 2 L 3

Fazendo as comtinhas,

1 1 0 0 1 0 0 0 1 3 2 0

Beleza?! Agora só falta zerar o elemento acima do pivô da segunda linha!

1 1 0 0 1 0 0 0 1 3 2 0

Para isso,

L 1 ← L 1 - 1 L 2

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0

OPAAA! Essa então é a nossa matriz na forma escalonada reduzida!!

Resposta

L e t r a   E