Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jordan

Enunciado

Determine a solução do sistema linear abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan

4 x + 5 y = 1 12 x + 15 y = 0

Passo 1

Fala Aíí!! Vamos utilizar o método de Gauss-Jordan para tentar encontrar a solução do sistema

4 x + 5 y = 1 12 x + 15 y = 0

Beleza?!

Lembrando que no método de Gauss-Jordan queremos deixar a matriz aumentada “diagonalizada”, ou seja, somente com a coluna principal. Ficou confuso?! Seria algo desse formato aqui ó,

Repare que todos os elementos abaixo e acima da diagonal principal da matriz são nulos. Show de bola?!

Passo 2

O primeiro passo é representar esse sistema em forma de matriz:

Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:

4 5 12 15 x y = 1 0

Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

4 5 12 15 1 0

Beleza?!

Passo 3

Fase 1 – Eliminação:

Vamos encontrar o pivô da primeira linha.

Não sabe o que significa o pivô???? Calmaaa!! Pivô nada mais é do que o primeiro elemento não nulo da linha. Ou seja, na primeira linha será o número 1:

4 5 12 15 1 0

Show de bola?! Agora vamos às continhas pra zerar os números embaixo desse pivô!

4 5 12 15 1 0

Para zerar o elemento abaixo do 1 podemos fazer a combinação abaixo

L 2 ← L 2 - 3 L 1

Assim, fazendo essa continha para cada elemento da segunda linha e substituindo os valores na segunda linha, temos

4 5 0 0 1 - 3

Beleza?!

OPA! Se você reparar a última linha do lado esquerdo zerou... O que isso significa??? É o que veremos agora!

Passo 4

Fase 2Voltar pra forma de sistema:

Pegando a nossa matriz

4 5 0 0 1 - 3

E passando para a forma de sistema, temos

4 x + 5 y = 1 0 = - 3      

Opa! Se você reparar, 0 ≠ - 3 . Logo, não existe solução para o sistema!

Resposta

Não existe solução.