Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jordan

Enunciado

Resolva o o seguinte sistema de equações lineares

x + y + z = 0 x + 1 z = 3 y + z = 5

Usando o método de Gauss-Jordan.

Passo 1

Fala Aíí! Precisamos utilizar o método de Gauss-Jordan para tentar encontrar a solução do sistema de equações lineares. Vamos lá?!

Lembrando que no método de Gauss-Jordan queremos deixar a matriz aumentada “diagonalizada”, ou seja, somente com a coluna principal. Ficou confuso?! Seria algo desse formato aqui ó,

Repare que todos os elementos abaixo e acima da diagonal principal da matriz são nulos. Show de bola?!

Passo 2

O primeiro passo é representar esse sistema em forma de matriz:

Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:

1 1 1 1 0 1 0 1 1 x y z = 0 3 5

Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 3 5

Beleza?!

Passo 3

Fase 1 – Eliminação:

Vamos encontrar o pivô da primeira linha.

Pivô nada mais é do que o primeiro elemento não nulo da linha. Ou seja, na primeira linha será o número 1:

1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 3 5

Show de bola?! Agora vamos às continhas pra zerar os números embaixo desse pivô! Podemos começar com

L 2 ← L 2 - L 1

Assim, fazendo as continhas

1 1 1 0 - 1 0 0 1 1 0 3 5

Opa! Já zeramos os dois elementos abaixo do pivô da primeira linha! Agora vamos zerar o elemento abaixo do pivô da segunda linha

1 1 1 0 - 1 0 0 1 1 0 3 5

Faremos a combinação

L 3 ← L 3 - L 2

E ficamos com

1 1 1 0 - 1 0 0 0 1 0 3 8

Beleza?!

Passo 4

Agora pensa comigo... Queremos deixar a matriz na forma diagonalizada, certo?! Então a nossa diagonal principal deve ser composta por “ 1 ”. Então, vamos arrumar a diagonal da nossa matriz!

Para isso, precisamos apenas multiplicar a segunda linha por ( - 1 ) . Ou seja,

L 2 ← ( - 1 ) L 2

Assim,

1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 - 3 8

Beleza?!

Passo 5

Já zeramos o elemento abaixo do pivô da primeira e da segunda linha! Agora precisamos zerar os elementos acima dos pivôs da segunda e da terceira linha!!

1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 - 3 8

Vamos começar zerando o elemento acima do pivô da terceira linha! Para isso,

L 1 ← L 1 - L 3

Fazendo as continhas, temos

1 1 0 0 1 0 0 0 1 - 8 - 3 8

Show?! Agora só falta zerarmos o elemento acima do pivô da segunda linha!

1 1 0 0 1 0 0 0 1 - 8 - 3 8

Para isso, faremos

L 1 ← L 1 - L 2

Fazendo a continha, ficamos com

1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 5 - 3 8

Ufa!! Agora só precisamos voltar pro sisteminha!!!

Passo 6

Voltando pra forma de sistema:

Pegando a nossa matriz

1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 5 - 3 8

E passando para a forma de sistema, temos

x = - 5 y = - 3 z = 8      

Logo, nossa solução é

x , y , z = - 5 , - 3,8

Resposta

x , y , z = - 5 , - 3,8