Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jordan

Enunciado

Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan:

x + y + z = 1 4 x + 4 y + 2 z = 2 2 x + y - z = 0

Passo 1

Vamos lá!! Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:

1 1 1 4 4 2 2 1 - 1 x y z = 1 2 0

Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

1 1 1 4 4 2 2 1 - 1 1 2 0

Beleza?!

Lembrando que no método de Gauss-Jordan queremos deixar a matriz aumentada “diagonalizada”, ou seja, somente com a coluna principal. Ficou confuso?! Seria algo desse formato aqui ó,

Repare que todos os elementos abaixo e acima da diagonal principal da matriz são nulos. Show de bola?!

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

1 1 1 4 4 2 2 1 - 1 1 2 0

L 2 ← L 2 - 4 L 1 :

1 1 1 0 0 - 2 2 1 - 1 1 - 2 0

Opa, para facilitar nossa vida, podemos trocar a segunda e a terceira linhas:

L 3 ← L 2 :

1 1 1 2 1 - 1 0 0 - 2 1 0 - 2

Continuando:

L 2 ← L 2 - 2 L 1 :

1 1 1 0 - 1 - 3 0 0 - 2 1 - 2 - 2

Como vemos, foi necessário trocar uma linha (a segunda com a terceira linha)

Passo 3

Agora pensa comigo... Queremos deixar a matriz na forma diagonalizada, certo?! Então a nossa diagonal principal deve ser composta por “ 1 ”. Então, vamos arrumar a diagonal da nossa matriz!

Para isso, vamos multiplicar a segunda linha da matriz por ( - 1 ) e dividir a terceira linha da matriz por - 2 . Ou seja,

L 2 ← - 1 L 2

L 3 ← L 3 - 2

Assim, fazendo as continhas, ficamos com a matriz

1 1 1 0 1 3 0 0 1 1 2 1

Beleza?!

Passo 4

E agora?? Agora Já zeramos o elemento abaixo do pivô da primeira e da segunda linha! Agora precisamos zerar os elementos acima dos pivôs da segunda e da terceira linha!!

1 1 1 0 1 3 0 0 1 1 2 1

Vamos começar zerando os elementos acima do pivô da terceira linha. Para isso, faremos

L 2 ← L 2 - 3 L 3

Fazendo as continhas, temos

1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 - 1 1

Da mesma forma, para zerar o outro termo acima do pivô da terceira linha, faremos

L 1 ← L 1 - L 3

Assim,

1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 - 1 1

Beleza?!

Por último, vamos zerar o elemento acima do pivô da segunda linha!

1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 - 1 1

Para isso, faremos

L 1 ← L 1 - L 2

Fazendo as continhas, temos

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 - 1 1

OPA! Já temos a nossa matriz diagonal!! Agora é só voltar pra forma de sistema!

Passo 5

Fase 2Voltar pra forma de sistema:

Passando para a forma de sistema:

x = 1 y = - 1 z = 1      

Logo, nossa solução geral é:

x , y , z = 1 , - 1,1

Resposta

x , y , z = 1 , - 1,1