Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jordan

Enunciado

Utilizando o método de Gauss-Jordan, verifique se é possível resolver o sistema linear abaixo:

2 x + 2 z = 8 x + 2 y + z = 9 x + y + z = 6

  1. x , y , z = 0,17 , - 19
  2. ( x , y , z ) = ( 0,18 , - 19 )
  3. ( x , y , z ) = ( 18,17 , - 19 )
  4. ( x , y , z ) = ( 17,18 , - 19 )
  5. Não existe solução.

Passo 1

Bora lá!! Vamos utilizar o método da Eliminação de Gauss para tentar encontrar a solução do sistema.

O primeiro passo é representar esse sistema em forma de matriz:

Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:

0 2 2 1 2 1 1 1 1 x y z = 8 9 6

Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

0 2 2 1 2 1 1 1 1 8 9 6

Beleza?!

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

Vamos encontrar o pivô da primeira linha.

Não sabe o que significa o pivô???? Calmaaa!! Pivô nada mais é do que o primeiro elemento não nulo da linha. Ou seja, na primeira linha será o número 1:

0 2 2 1 2 1 1 1 1 8 9 6

Show de bola?! Agora vamos às continhas pra zerar os números embaixo desse pivô!

0 2 2 1 2 1 1 1 1 8 9 6

L 2 ← L 2 - L 1 :

1 1 1 0 1 1 3 4 4 8 1 6

L 3 ← L 3 - 3 L 1 :

1 1 1 0 1 1 0 1 1 8 1 - 18

Agora vamos para o segundo pivô (primeiro elemento não nulo da segunda linha)

1 1 1 0 1 1 0 1 1 8 1 - 18

Para zerar o elemento abaixo dele, basta fazermos

L 3 ← L 3 - L 2 :

1 1 1 0 1 1 0 0 0 8 1 - 19

OPA! Se você reparar a última linha do lado esquerdo zerou... O que isso significa??? É o que veremos agora!

Beleza?!

Passo 3

Fase 2Voltar pra forma de sistema:

Pegando a nossa matriz

1 1 1 0 1 1 0 0 0 8 1 - 19

E passando para a forma de sistema, temos

x + y + z = 1 y + z = 1 0 = - 19      

Como 0 ≠ - 19 , então não existe solução para o sistema!

Resposta

Letra E