Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Seidel

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Enunciado

Considere o seguinte sistema de equações lineares:

x 1 + 2 x 2 - x 3     = 1 2 x 1 - x 2         = 1   - x 2 + 2 x 3 - x 4 = 1       - x 3 + 2 x 4 = 1

a Mostre que este sistema não satisfaz o critério de linhas;

b Mostre que esse sistema não satisfaz o critério de Sassenfeld;

c O que se pode afirmar sobre a convergência dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, quando aplicados a este sistema?

d Mostre que o sistema obtido permutando-se as duas primeiras equações satisfaz o critério de Sassenfeld;

e Usando o método de Gauss-Seidel, determine a solução aproximada do sistema, com a permutação sugerida no item anterior e erro ε = 1 × 10 - 3 = 0.001 .

Passo 1

a Verificando o critério das linhas:

α 1 = 3 1 = 3 > 1

Só pelo α 1 já podemos ver que ele não satisfaz o critério.

Passo 2

b Verificando o critério de Sassenfeld:

β 1 = 3 1 = 3 > 1

Novamente, apenas pelo valor de β 1 já sabemos que o critério não é satisfeito.

Passo 3

c Nesse caso não podemos afirmar nada a respeito da convergência dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel quando aplicados a esse sistema. Eles podem convergir ou divergir.

Passo 4

d Permutando-se as duas primeiras linhas obtemos:

2 x 1 - x 2         = 1 x 1 + 2 x 2 - x 3     = 1   - x 2 + 2 x 3 - x 4 = 1       - x 3 + 2 x 4 = 1

Verificando o critério de Sassenfeld:

β 1 = 1 2 = 0.5

β 2 = 0.5 ∙ 1 + 1 2 = 0.75

β 3 = 0.75 ∙ 1 + 1 2 = 0.875

β 4 = 0.875 ∙ 1 2 = 0.4375

Logo, β = 0.875 < 1 . Então, o sistema satisfaz o critério de Sassenfeld.

Passo 5

e As funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 1 + x 2 k 2

x 2 k + 1 = 1 - x 1 k + 1 + x 3 k 2

x 3 k + 1 = 1 + x 2 k + 1 + x 4 k 2

x 4 k + 1 = 1 + x 3 k + 1 2

Agora precisamos de um chute inicial. Se a gente jogar 1 em todas as variáveis dá valores bem próximos né? Então vamos usar x 0 = 1 , 1,1 , 1 .

Iteração 1 :

x 1 1 = 1 + x 2 0 2

x 1 1 = 1

x 2 1 = 1 - x 1 1 + x 3 0 2

x 2 1 = 0.5

x 3 1 = 1 + x 2 1 + x 4 0 2

x 3 1 = 1.25

x 4 1 = 1 + x 3 1 2

x 4 1 = 1.125

Então temos x 1 = 1.0 ,   0.5 ,   1.25 ,   1.125 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0 < ε

x 2 1 - x 2 0 = 0.5 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 2 :

x 1 2 = 1 + x 2 1 2

x 1 2 = 0.75

x 2 2 = 1 - x 1 2 + x 3 1 2

x 2 1 = 0 . 75

x 3 2 = 1 + x 2 2 + x 4 1 2

x 3 2 = 1.4375

x 4 2 = 1 + x 3 2 2

x 4 2 = 1.21875

Então temos x 2 = 0.75 ,   0.75 ,   1.4375 ,   1.21875 .

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0.25 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 3 :

x 1 3 = 1 + x 2 2 2

x 1 3 = 0.875

x 2 3 = 1 - x 1 3 + x 3 2 2

x 2 3 = 0.78125

x 3 3 = 1 + x 2 3 + x 4 2 2

x 3 3 = 1.5

x 4 3 = 1 + x 3 3 2

x 4 3 = 1.25

Então temos x 3 = 0.875 ,   0.78125 ,   1.5 ,   1.25 .

Critério de Parada:

x 1 3 - x 1 2 = 0.125 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 4 :

x 1 4 = 1 + x 2 3 2

x 1 4 = 0.89063

x 2 4 = 1 - x 1 4 + x 3 3 2

x 2 4 = 0.80469

x 3 4 = 1 + x 2 4 + x 4 3 2

x 3 4 = 1.52734

x 4 4 = 1 + x 3 4 2

x 4 4 = 1.26367

Então temos x 4 = 0.89063,0 . 80469,1.52734,1.26367 .

Critério de Parada:

x 1 4 - x 1 3 = 0.01563 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 5 :

x 1 5 = 1 + x 2 4 2

x 1 5 = 0.90234

x 2 5 = 1 - x 1 5 + x 3 4 2

x 2 5 = 0.8125

x 3 5 = 1 + x 2 5 + x 4 4 2

x 3 5 = 1.53809

x 4 5 = 1 + x 3 5 2

x 4 5 = 1.26904

Então temos x 5 = 0.90234 , 0 . 8125 , 1.53809 , 1.26904 .

Critério de Parada:

x 1 5 - x 1 4 = 0.01172 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 6 :

x 1 6 = 1 + x 2 5 2

x 1 6 = 0.90625

x 2 6 = 1 - x 1 6 + x 3 5 2

x 2 6 = 0.81592

x 3 6 = 1 + x 2 6 + x 4 5 2

x 3 6 = 1.54248

x 4 6 = 1 + x 3 6 2

x 4 6 = 1.27124

Então temos x 6 = 0.90625 , 0 . 81592 , 1.54248 , 1.27124 .

Critério de Parada:

x 1 6 - x 1 5 = 0.00391 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 7 :

x 1 7 = 1 + x 2 6 2

x 1 7 = 0.90796

x 2 7 = 1 - x 1 7 + x 3 6 2

x 2 7 = 0.81726

x 3 7 = 1 + x 2 7 + x 4 6 2

x 3 7 = 1.54425

x 4 7 = 1 + x 3 7 2

x 4 7 = 1.27213

Então temos x 7 = 0.90796 , 0 . 81726 , 1.54425 , 1.27213 .

Critério de Parada:

x 1 7 - x 1 6 = 0.00171 > ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Iteração 8 :

x 1 8 = 1 + x 2 7 2

x 1 8 = 0.90863

x 2 8 = 1 - x 1 8 + x 3 7 2

x 2 8 = 0.81781

x 3 8 = 1 + x 2 8 + x 4 7 2

x 3 8 = 1.54497

x 4 8 = 1 + x 3 7 2

x 4 8 = 1.27248

Então temos x 8 = 0.90863 , 0 . 81781 , 1.54497 , 1.27248 .

Critério de Parada:

x 1 8 - x 1 7 = 0.00067 < ε

x 2 8 - x 2 7 = 0.00055 < ε

x 3 8 - x 3 7 = 0.00072 < ε

x 4 8 - x 4 7 = 0.00036 < ε

Beleza, o critério de parada foi atingido! Então nossa aproximação é:

x = 0.90863 , 0.81781 , 1.54497 , 1.27248

Resposta

c Nesse caso não podemos afirmar nada a respeito da convergência dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel quando aplicados a esse sistema. Eles podem convergir ou divergir.

e x = 0.90863 , 0.81781 , 1.54497 , 1.27248

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