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Exercícios Resolvidos de Núcleo e Imagem de uma TL

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Enunciado

UFRJ; Sem campus; Algelin; P2; 2022.1; Questão 2

A 3 × 3   é tal que n ú c l e o ( A )   =   L   { ( 1 ,   − 3 ,   0 ) , ( 2 ,   0 ,   3 ) }   e   i m a g e m ( A )   =   L   { ( 3 ,   − 1 ,   − 2 ) } . Se a 12   =   9 , calcule a matriz   A . Assinale abaixo o valor da entrada a 33 :

(a) 14

(b) 13

(c) 12

(d) 11

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nós queremos descobrir a entrada a 33 da matriz A . E para isso, temos

n ú c l e o ( A )   =   s p a n   { ( 1 ,   − 3 ,   0 ) , ( 2 ,   0 ,   3 ) }   e   i m a g e m ( A )   =   s p a n   { ( 3 ,   − 1 ,   − 2 ) } , a 12   =   9

Bem, como vamos resolver essa questão? A ideia é construirmos um sistema para encontrarmos a 33 . Vamos fazer isso.

Vamos fazer a letra a )

Passo 2

Como n ú c l e o ( A )   =   s p a n   { ( 1 ,   − 3 ,   0 ) , ( 2 ,   0 ,   3 ) }

Isso quer dizer que

A ( 1 ,   − 3 ,   0 ) T = 0

e

A ( 2 ,   0 ,   3 ) T = 0

Logo, temos os seguintes sistemas:

A ( 1 ,   − 3 ,   0 ) T = 0

⇒ a 11 - 3 a 12 = 0

a 21 - 3 a 22 = 0

a 31 - 3 a 32 = 0

A ( 2 ,   0 ,   3 ) T = 0

⇒ 2 a 11 + 3 a 13 = 0

2 a 21 + 3 a 23 = 0

2 a 31 + 3 a 33 = 0

Usando as equações a seguir e o fato que a 12   =   9 . Temos

a 11 - 3 a 12 = 0

2 a 11 + 3 a 13 = 0

⇒ a 11 = 27

substituindo na terceira equação.

a 13 = - 18

Passo 3

Agora que sabemos que

a 13 = - 18

Vamos usar o fato que i m a g e m ( A )   =   s p a n   { ( 3 ,   − 1 ,   − 2 ) }

Bem, como nossa imagem é gerada por um vetor, e nós sabemos que ( 1 ,   − 3 ,   0 ) , ( 2 ,   0 ,   3 ) são levados no vetor nulo, então o vetor que será levado em um múltiplo de ( 3 ,   − 1 ,   − 2 ) é o vetor ortogonal a ( 1 ,   − 3 ,   0 ) , ( 2 ,   0 ,   3 ) simultaneamente? Que vetor é esse? Ora é o vetor

( 3,1 , - 2 )

Logo

A ( 3 ,   1 ,   - 2 ) T = k ( 3 ,   − 1 ,   − 2 )

Então podemos construir o seguinte sistema

3 a 11 + a 12 - 2 a 13 = 3 k

3 a 21 + a 22 - 2 a 23 = - k

3 a 31 + a 32 - 2 a 33 = - 2 k

Agora, note que o lado direito da igualdade são múltiplos uns dos outros, isso quer dizer que os coeficientes a i 3 serão múltiplos uns dos outros. Como queremos a 33 . Basta observar que a terceira equação é a primeira multiplicada por - 2 / 3 . Logo

a 33 = - 2 3 a 13

= 12

Portanto a alternativa correta é a letra c )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c )

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