Exercícios Resolvidos de Operações com Conjuntos

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Enunciado

Encontre o maior δ > 0 tal que 1 2 x + 1 < 1 10 , para todo x ∈ R com x > δ

a) 9 2

b) 11 2  

c) 11

d)N.A

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa inequação aqui

1 2 x + 1 < 1 10

E pediu para encontrarmos o maior valor de δ > 0 para que x > δ . Mas como resolver isso?

Precisamos primeiro encontrar qual intervalo de x estamos trabalhando! Depois disso, vamos verificar qual valor mais se adequa para termos

x > δ

Beleza?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Podemos abrir nosso módulo em duas desigualdades

1 2 x + 1 < 1 10

- 1 10 < 1 2 x + 1 < 1 10

E resolver! Do lado esquerdo temos

1 2 x + 1 > - 1 10

Aí temos que

1 2 x + 1 + 1 10 > 0

E aí

2 x + 11 2 x + 1 > 0

Isso acontece quando x > - 1 2 e também x < - 11 2 (os sinais das duas partes, numerador e denominador são iguais, em outros lugares os sinais são diferentes e o resultado é uma fração negativa)

Beleza?

Agora vamos fazer algo similar para o lado direito

1 2 x + 1 < 1 10

1 2 x + 1 - 1 10 < 0

Aí temos

- 2 x + 9 2 x + 1 < 0

Analisando os intervalos temos que será negativa quando x < - 1 2 ou x > 9 2 (aqui buscamos sinais opostos!)

tranquilo né?

Agora vamos reunir os intervalos para achar o nosso! Da direita

x < - 1 2   o u   x > 9 2

Da esquerda

x > - 1 2   o u   x < - 11 2

Juntando os intervalos temos que

x < - 11 9 ,   o u   x > 9 2

Passo 3

Agora vamos verificar qual é o menor valor possível de δ para que

x > δ

Então é 9 / 2 , pois a partir daí

x > 9 2 = δ

No nosso intervalo!

Alternativa (a)

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

( a )  

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